HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS ET ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI 41
2.4.1. Les solutions de viscosité géométriques. La notion de solutions géométriques introduite
par Cardaliaguet [Car00, Car01] est directement inspirée des solutions de viscosité
pour les EDP de Crandall et Lions et est particulièrement bien adaptée aux évolutions
géométriques du type (2.1), en particulier lorsqu’il est difficile d’écrire l’équation géométrique
de l’approche par lignes de niveaux. Cette notion de solution a également été
utilisée par Cardaliaguet et Rouy [CR06] pour le problème de Hele-Shaw (1.23). Des approches
similaires peuvent être trouvées dans les travaux de Andrews et Feldman [AF02],
Barles, Soner et Souganidis [BSS93, Son93, BS98].
La définition des solutions géométriques consiste à “mimer” celle des solutions de viscosité
classiques au niveau ensembliste. En solutions de viscosité, on remplace les dérivées
d’une fonction en un point par celles d’une fonction-test lisse qui “touche” le graphe de
cette fonction en ce point. Dans ce cas géométrique, on remplace la vitesse en un point
où l’ensemble n’est pas suffisamment régulier par la vitesse d’un ensemble lisse tangent à
l’ensemble considéré en ce point.
Nous aurons besoin des définitions suivantes qui sont illustrées sur la Figure 7 (pour
être lisibles, les dessins représenteront des tubes de dimension 2).
R N
̂K
K 0
⎧⎪ ⎨
⎪ ⎩
S {
ν t
ν K (x, t) ν x
Fig. 7
K r
S × [0, +∞)
t
(t, x)
K
– Nous dirons que K est un tube si c’est un sous-ensemble de R N × [0, +∞) tel que
K ∩ (R N × [0, T]) est un compact de R N+1 pour tout T > 0. La tranche t du tube
est définie par K t = {x ∈ R N : (x, t) ∈ K}. Pour toute famille d’ensembles (Ω t ) t≥0
de R N (uniformément bornés sur [0, T]), on peut naturellement fabriquer un tube
en les empilant en temps; c’est bien entendu la raison d’être de cette définition où
K est alors le graphe en espace-temps de la famille (Ω t ) t≥0 . Comme on va utiliser
les tubes pour définir des solutions aux problèmes (1.20) et (1.28), nous supposerons
une fois pour toute (pour ne pas avoir à le répéter) que toutes les tranches des tubes
qui interviennent contiennent strictement la source S (définie à la suite de la formule
(1.17)).