HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS ET ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI 21
En général, sauf pour des données très régulières et des temps petits, il y a peu d’espoir
de trouver des solutions régulières. Même dans les cas les plus simples (par exemple
h ≡ 1), ces évolutions développent des singularités en temps fini, la topologie du front
peut changer (apparition ou disparition de composantes connexes, extinction, etc.) D’autre
part, les évolutions considérées sont fortement non-linéaires et parfois non-locales. Enfin,
dans de nombreux cas, nous aurons besoin de relaxer la régularité sur les données initiales
et/ou la loi d’évolution et de pouvoir quand même donner un sens à l’évolution. Ces
difficultés rendent délicates l’étude de (2.1) à l’aide des outils de la géométrie classique
(pour la courbure moyenne, il existe néanmoins les travaux de Huisken [Hui84], Gage et
Hamilton [GH86]).
Il est donc nécessaire d’introduire des notions de solutions faibles. Celles que nous
allons décrire et utiliser sont les suivantes. En premier lieu, la plus célèbre est sans doute
l’approche par lignes de niveau qui est une approche analytique développée par Evans et
Spruck [ES91] et Chen, Giga et Goto [CGG91]. Elle remplace le problème géométrique
par une EDP, l’équation géométrique associée au mouvement, qui est résolue à l’aide
des solutions de viscosité. Lorsqu’il est malaisé, ou impossible, d’écrire cette EDP, nous
utiliserons les “solutions de viscosité géométriques” introduites par Cardaliaguet [Car00,
Car01]; cette notion est plus géométrique et permet un va-et-vient fructueux entre la
géométrie et l’analyse. Nous serons aussi amenés à parler de mouvements minimisants
(voir Almgren, Taylor et Wang [ATW93], Ambrosio [Amb95]) pour faire le lien entre des
solutions variationnelles et les solutions de viscosité géométriques. Dans [13] nous avons
introduit une autre notion de solutions faibles; elle est inspirée par l’approche par lignes
de niveaux et nous l’utilisons dans des cas d’évolutions non-monotones.
Enfin, il existe d’autres notions de solutions dont nous ne parlerons pas ici : les solutions
de Brakke [Bra78] définies à l’aide de courants, les solutions barrières (De Giorgi [DG90],
Ilmanen [Ilm93b], Bellettini et Novaga [BN00]), des limites singulières d’équations de
réaction-diffusion (De Mottoni et Schatzman [DMS95], Bronsard et Kohn [BK91]), des solutions
de viscosité géométriques se rapprochant un peu de celle que nous utilisons (Barles
et Souganidis [BS98]), etc. Pour des liens entre ces différentes notions de solutions, voir
Evans, Soner et Souganidis [ESS92], Ilmanen [Ilm93a, Ilm94] et Evans et Spruck [ES95]
et [BN00].
2.1. L’approche par lignes de niveaux. Supposons pour le moment qu’on puisse
définir une évolution classique pour (2.1) (les ensembles en jeu sont au moins C 2 , évoluent
de façon C 1 et satisfont (2.1)). L’approche par lignes de niveaux consiste à introduire une
fonction auxiliaire u : R N × [0, +∞) → R telle que, pour tout t ≥ 0,
(2.2)
u(·, t) = 0 sur Γ t , u(·, t) > 0 dans Ω t et u(·, t) < 0 dans ˜Ω t .
Supposons de plus que u est elle-même régulière dans un voisinage de ∪ t≥0 Γ t ×{t}. Comme
elle est constante sur Γ t et positive dans Ω t (“l’intérieur”), on obtient la relation
(2.3)
−→ Du(x, t)
n Ωt (x) = −
|Du(x, t)|
pour tous t ≥ 0, x ∈ Γ t .