HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS AVEC VITESSE NON-LOCALE ET
ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI
OLIVIER LEY
Table des matières
Résumé 3
Remerciements 5
Avant-Propos 7
1. Introduction 9
1.1. Évolution de fronts et équations de Hamilton-Jacobi 9
1.2. Évolution de fronts apparaissant dans des problèmes d’optimisation de formes 12
1.3. Équation de Hamilton-Jacobi, contrôle stochastique et homogénéisation de systèmes 15
1.4. Inégalité de ̷Lojasiewicz pour des fonctions convexes et liens avec le flot de gradient 19
2. Propagation de fronts avec vitesse normale prescrite 20
2.1. L’approche par lignes de niveaux 21
2.2. Résultats d’unicité pour l’équation de courbure moyenne des graphes 24
2.2.1. Position du problème et travaux effectués dans la thèse 24
2.2.2. Description du cas “convexe à l’infini” 26
2.2.3. Le cas radial 27
2.2.4. Commentaires et perspectives 28
2.3. Équation de Hamilton-Jacobi non-locales non-monotones apparaissant en
dynamique des dislocations et pour un modèle de FitzHugh-Nagumo 28
2.3.1. La dynamique des dislocations 28
2.3.2. Un système apparaissant dans un modèle de FitzHugh-Nagumo 29
2.3.3. Définition de solutions faibles 31
2.3.4. Rappel sur l’équation eikonale et borne inférieure de gradient 32
2.3.5. Existence de solutions faibles et solutions classiques 33
2.3.6. Un contre-exemple à l’unicité en général 34
2.3.7. Résultats d’unicité pour les équations de Hamilton-Jacobi non-locales nonmonotones
35
2.3.8. Éléments de preuve des théorèmes d’unicité 36
2.3.9. Commentaires et perspectives 40
2.4. Problèmes d’évolution de front apparaissant en optimisation de forme 40
2.4.1. Les solutions de viscosité géométriques 41
2.4.2. Construction de solutions de viscosité géométriques pour le problème d’évolution 43
2.4.3. Esquisse de la preuve du principe d’inclusion 44
2.4.4. Convergence vers l’équilibre 47
2.4.5. Décroissance de l’énergie le long de l’évolution 48
2.4.6. Commentaires et perspectives 48
3. Équations de Hamilton-Jacobi-Bellman 49
3.1. Unicité pour des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman reliées à des problèmes de
contrôle stochastique non-bornés 49
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