HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS ET ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI 35
comparaison, on a 0 ≤ y 0 (t) ≤ y γ (t) ≤ y 1 (t) pour 1 ≤ t ≤ 2, où y 0 , y 1 sont les solutions de
l’équation précédente obtenues en prenant γ(t) ≡ 0 et 1. On note que ẏ γ ≥ 0 dans [1, 2].
On considère ensuite ⎧⎨ ∂u γ
= ẏ γ (t)
∂u γ
∂t ∣ ∂x ∣ dans R × (1, 2],
⎩
u γ (·, 1) = u(·, 1) dans R,
où u est la solution de (2.22). À nouveau, ce problème a une unique solution de viscosité
continue u γ qui est nulle si |x| ≤ y γ (t) et u γ (x, t) = u(|x| −y γ (t), 1) sinon (remarquer que,
comme u(·, 1) ≤ 0, par le principe du maximum, on obtient u γ ≤ 0 dans R ×[1, 2]). Il suit
(2.24)
{u γ (·, t) > 0} = ∅ et {u γ (·, t) ≥ 0} = {u γ (·, t) = 0} = [−y γ (t), y γ (t)].
3. Il y a plusieurs solutions faibles à (2.21). Pour 0 ≤ γ(t) ≤ 1, posons
c γ (t) = c 1 (t) + 2x 1 (t), U γ (x, t) = u(x, t) si (x, t) ∈ R × [0, 1],
c γ (t) = c 1 (t) + 2γ(t)y γ (t), U γ (x, t) = u γ (x, t) si (x, t) ∈ R × [1, 2].
Alors, d’après les étapes 1 et 2, U γ est l’unique solution de viscosité continue de
⎧
⎨ ∂U γ
= c γ (t)
∂U γ
∂t ∣ ∂x ∣ dans R × (0, 2],
⎩
U γ (·, 0) = u 0 dans R.
En prenant χ γ (·, t) = γ(t)1 [−yγ(t),y γ(t)] pour 1 ≤ t ≤ 2, d’après (2.23) et (2.24), nous
obtenons
1 {Uγ(·,t)>0} ≤ χ γ (·, t) ≤ 1 {Uγ(·,t)≥0},
(voir Figure 5). Cela implique que toutes les fonctions U γ , pour 0 ≤ γ(t) ≤ 1 mesurable,
sont des solutions faibles de (2.21) d’où la non-unicité.
2.3.7. Résultats d’unicité pour les équations de Hamilton-Jacobi non-locales non-monotones.
Nous avons obtenu plusieurs résultats d’unicité sous des hypothèses différentes
dans le cas des dislocations. J’ai choisi d’axer la présentation sur le dernier en date (établi
dans [16], voir Théorème 2.13). C’est celui qui recquiert le moins de régularité sur la vitesse
(elle est seulement lipschitzienne en espace) et qui permet de présenter en parallèle le cas
des dislocations et de FitzHugh-Nagumo en faisant ressortir les différences fondamentales
entre les deux problèmes. Les techniques de preuve sont expliquées dans le § 2.3.8.
Dans le cas où la vitesse est peu régulière, nous avons été obligés de supposer qu’elle
est strictement positive, ce qui se traduit par un renforcement de (dislo-2) et (FN-2) :
(dislo-3) Il existe une constante c > 0 telle que, pour tous x ∈ R N , t ∈ [0, T], 0 < c ≤
−|c 0 (·, t)| L 1 (R N ) + c 1 (x, t).
(FN-3) Il existe une constante c > 0 telle que 0 < c ≤ α.
Le résultat est
Théorème 2.13. [16, Theorems 3.1 et 4.1] Supposons que (dislo-1-3) (cas de dislocations)
ou (FN-1-3) (cas du système de FitzHugh-Nagumo) sont vérifiées et que la donnée
initiale u 0 lipschitzienne satisfait (borne-inf), (2.19) et que Γ 0 := {u 0 = 0} est C 2 . Alors,
il existe une unique solution de viscosité (classique) à (2.11).