HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS ET ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI 33
gradient est vérifié au sens classique presque partout. Cela ouvre la voie à l’obtention
d’estimations intégrales pour les ensembles de niveaux {−δ ≤ u(·, t) ≤ δ} (avec δ > 0
petit) qui seront cruciales.
À ce niveau, faisons une remarque fondamentale. Comme la vitesse est bornée (cf. § 2.3.1
et 2.3.2), disons par une constante V , nous avons une propriété de vitesse finie de propagation
qui entraîne que, avec les notations (2.8), si
(2.19)
alors
(2.20)
Γ 0 ∪ Ω 0 = {u 0 ≥ 0} ⊂ B(0, R 0 )
Γ t ∪ Ω t = {u(·, t) ≥ 0} ⊂ B(0, R 0 + V T) pour tous t ≥ 0.
Dans le cas de fronts compacts, nous pouvons donc nous placer une fois pour toutes dans
une grosse boule B(0, R 0 + V T). Grâce à la forme particulière (1.6) de la vitesse dans
nos problèmes modèles et aux hypothèses (dislo-1) et (FN-1), on en déduit alors que
la vitesse c[χ] satisfait (eikonale) avec des constantes indépendantes de χ ∈ L ∞ (R N ×
[0, T]; [0, 1]) à support compact dans B(0, R 0 + V T). Nous pouvons donc appliquer la
plupart des résultats valables pour l’équation eikonale classique à nos problèmes.
2.3.5. Existence de solutions faibles et solutions classiques. Le principal intérêt de la notion
de solution introduite ci-dessus est qu’elle permet d’obtenir des solutions à de nombreux
problèmes du type (2.11) où la vitesse est donnée par (1.6).
Théorème 2.11. [13, 17] Sous les hypothèses (dislo-1) (cas de dislocations) ou (FN-1)
(cas du système de FitzHugh-Nagumo), pour toute donnée initiale u 0 lipschitzienne satisfaisant
(2.19), l’équation (2.11) admet au moins une solution faible u qui est lipschitzienne
dans R N × [0, T].
Comme expliqué dans l’introduction, nous n’avons pas de principe de comparaison ce
qui ne permet pas de construire des solutions de viscosité de (2.11) par la méthode de Perron
classique. Nous devons suivre d’autres stratégies. Dans le cas des dislocations, l’existence
est prouvée dans [13, Theorem 1.2] par une méthode d’approximation : la vitesse
c[1 {u≥0} ] est régularisée en régularisant la fonction caractéristique par une fonction continue.
L’équation approchée a de bonnes propriétés permettant d’appliquer un théorème de
point fixe de Schauder, puis d’extraire une suite convergente avec le théorème d’Ascoli.
Il ne reste qu’à prouver que la limite obtenue est solution de notre problème; ceci n’est
pas complètement évident car nous ne sommes pas dans le cadre classique des solutions
de viscosité (les coefficients sont seulement mesurables en temps). Il faut faire appel à un
théorème de stabilité faible établi récemment par Barles [Bar06]. Dans le cas de FitzHugh-
Nagumo, l’existence de solutions faibles différentes des nôtres est prouvée dans [GGI92].
Dans [17], nous présentons un cadre unifié produisant l’existence de solutions faibles (au
sens de la Définition 2.9) pour le cas des dislocations et du système de FitzHugh-Nagumo
mais aussi pour des équations plus générales avec des termes du second-ordre de type
courbure. La preuve repose sur le théorème du point fixe de Kakutani (voir [AC84]) qui
est déjà un des ingrédients principaux de la preuve de [GGI92]. Rappelons pour finir que,
comme remarqué à la fin du § 2.3.4, la vitesse c[χ] satisfait (eikonale) avec des constantes