HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS ET ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI 43
de définir (2.32) et, en appliquant le théorème des fonctions implicites, on obtient que
la tranche t est globalement C 1,1 et localement C 2 ). Enfin, chaque tranche doit contenir
strictement la source. On appelera tubes tests de tels tubes.
Tout ceci permet de donner la définition suivante.
Définition 2.16. [10, Definition 1] Soit K un tube et S ⊂⊂ Ω 0 ⊂⊂ R N un ouvert initial.
(1) Le tube K est une sous-solution du problème d’évolution (2.33) si K est semicontinu
inférieurement et si, pour tout tube test K r qui est tangent extérieurement
à K en (x, t), on a
et K 0 ⊂⊂ Ω 0 .
V K r
t
(x) ≤ h λ (x, K r t) si t > 0
(2) Le tube K est une sur-solution du problème d’évolution (2.33) si ̂K est semi-continu
inférieurement et si, pour tout tube test K r qui est tangent intérieurement à K en
(x, t), on a
et ̂K 0 ⊂⊂ R N \ Ω 0 .
V K r
t
(x) ≥ h λ (x, K r t) si t > 0
(3) Enfin, le tube K est une solution si c’est à la fois une sous- et une sur-solution.
2.4.2. Construction de solutions de viscosité géométriques pour le problème d’évolution.
Nos résultats principaux sont les suivants
Théorème 2.17. [10, Theorem 3] (Principe d’inclusion) Soit 0 < λ 1 < λ 2 , K 1 une soussolution
de (2.33) avec λ 1 et K 2 une sur-solution de (2.33) avec λ 2 . Si K 1 0 ∩ ̂K 2 0 = ∅,
alors
K 1 t ∩ ̂K 2 t = ∅ pour tout t ≥ 0.
Ce résultat est le plus important de notre travail [10]. Bien qu’assez intuitif (vu la
monotonie du problème), sa preuve est longue et difficile. Avant d’en donner un aperçu,
énonçons les conséquences du Théorème 2.17.
Proposition 2.18. [10, Proposition 4] Pour tout S ⊂⊂ Ω 0 ⊂⊂ R N , il existe au moins
une solution du problème d’évolution (2.33). Plus précisément, il existe une plus grande
solution K + qui contient toutes les sous-solutions et une plus petite solution K − qui est
contenue dans toutes les sur-solutions.
La construction de solutions repose sur la méthode Perron, classique en solutions de
viscosité depuis le travail de Ishii [Ish87] (voir Cardaliaguet [Car00] dans le contexte
présent). On ne s’attend pas à de l’unicité en général. L’existence d’une plus grande et
plus petite solution distinctes est à rapprocher du phénomène d’épaississement expliqué
dans le § 2.1 (voir aussi Théorème 2.4). On a cependant un résultat d’unicité générique,
voir [10, Proposition 5]. On prouve aussi un résultat de stabilité [10, Proposition 6] au
sens des limites d’ensembles de Kuratowski.