HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS ET ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI 27
ordonnés le restent au cours de l’évolution, mais en plus la distance entre les fronts augmente.
Ces propriétés n’étant pas spécifiques au mouvement par courbure moyenne, le
résultat énoncé dans [12, Theorem 3.1] est plus général et s’applique par exemple au
mouvement par courbure gaussienne. Signalons enfin que ce résultat est proche de ceux
de [Son93, BSS93] (cas de la courbure moyenne) mais leurs hypothèses ne conviennent
pas aux ensembles non-bornés (des hypersurfaces) auxquels nous voulons l’appliquer.
Il est très simple de voir que le graphe d’une fonction convexe satisfait aux hypothèses
du Théorème 2.5 (il suffit de considérer des homothéties dont le centre est un point de
l’intérieur de l’épigraphe). C’est aussi le cas des fonctions convexes à l’infini (on perturbe
de façon continue une fonction convexe sur un sous-ensemble compact de R N ) :
Théorème 2.6. [12, Theorem 3.1] Si v 0 est une fonction convexe à l’infini alors (1.4) a
une unique solution.
La solution aura bien sûr la régularité donnée par le Théorème 2.3. Ce résultat peut
apparaître comme une variation minime du cas convexe. Néanmoins, le mouvement par
courbure moyenne, bien que local, a une vitesse de propagation infinie et est très instable;
une petite perturbation influe sur toute la solution instantanément, comme dans le cas de
l’équation de la chaleur par exemple. Il n’est donc pas aisé d’obtenir de tels résultats. En
particulier, nous n’avons pas pu démontrer que la solution obtenue est elle-même convexe
à l’infini. Une notion proche de la convexité à l’infini a été utilisée dans un contexte de
courbure gaussienne (pour un modèle d’érosion de galets) par Ishii et Mikami [IM04b].
2.2.3. Le cas radial. Le principal résultat de [7] est le suivant suivant.
Théorème 2.7. [7, Theorem I.1] Si v 0 ∈ C(R N ) est radiale alors il existe une unique
solution u ∈ C ∞ (R N × (0, ∞)) ∩ C(R N × [0, ∞)) de (1.4) et cette solution est elle-même
radiale en espace.
Ce résultat nous paraît important car c’est le premier résultat d’unicité pour (1.4) en
dimension quelconque avec des solutions qui peuvent osciller arbitrairement à l’infini. En
effet, les résultats précédents (cas convexe et convexe à l’infini) suggèrent que, plus que la
croissance arbitraire, ce sont les oscillations qui sont une obstruction sérieuses aux preuves
d’unicité en dimension plus grande que 2.
La preuve combine l’approche géométrique, des idées de la preuve du cas de la dimension
N = 1 et des techniques d’EDP classiques. L’approche géométrique nous donne deux
solutions extremales au problème : ϕ ± (|x|, t) := u ± (x, t) qui vérifient l’équation radiale
de courbure moyenne pour les graphes
(2.10)
∂ϕ
∂t =
ϕ rr
1 + ϕ 2 r
+ (N − 1) ϕ r
r
dans [0, +∞) × (0, +∞).
En intégrant l’équation ci-dessus, nous prouvons alors l’estimation intégrale suivante :
pour tout r 0 > 1 et T > 0, il existe une constante C(T) > 0 telle que
∫ +∞
r 0
(ϕ + − ϕ − )(r, t)dr ≤ C(T).