HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS ET ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI 25
Angenent [Ang94], à laquelle nous avons essayé de répondre, est celle de l’unicité de la
solution de Ecker et Huisken; plus généralement, quelles sont les conditions de structure
sur l’EDP qui permettent d’obtenir de tels résultats?
Ces questions sont d’ordre théorique et ont pour but d’avancer dans la compréhension
des EDP quasilinéaires paraboliques dégénérées du type
∂v
(2.9)
∂t = Trace( b(Dv)D 2 v )
dans R N × (0, +∞),
où b est continu de R N dans S + N
, l’ensemble des matrices symétriques positives (remarquer
que l’équation n’est pas nécessairement uniformément parabolique). Il existe peu de travaux
sur le sujet. La théorie “classique” des solutions de viscosité (cf. [CIL92, GGIS91])
couvre le cas des solutions uniformément continues (et donc à croissance au plus linéaire).
En ce qui concerne l’existence, à ma connaissance, le seul travail généralisant [EH89, EH91]
est celui de Chou et Kwong [CK01]; les auteurs donnent de nombreuses conditions de
structure pour que (2.9) admette au moins une solution régulière sans condition de croissance.
À partir de maintenant, pour la clarté de l’exposé, je me restreints au cas particulier
de notre équation modèle (1.4).
Concernant l’unicité, pratiquement rien n’était connu. On peut aborder le problème de
manière analytique. C’est ce que nous avons fait dans [5] où nous avons démontré l’unicité
en dimension 1 (évolution des graphes par courbure moyenne dans le plan) sans aucune
restriction de croissance (signalons quand même que [CK01] contient également l’unicité
pour (1.4) en dimension 1; les méthodes utilisées et la classe d’équations à laquelle elles
s’appliquent sont différentes des nôtres).
En dimension N, nous avons obtenu des résultats en imposant des restrictions de croissance
de type polynomial sur les solutions (voir [6]). L’approche analytique utilisée repose
sur des techniques sophistiquées de preuves du principe de comparison pour les solutions
de viscosité.
C’est dans [4], que nous avons introduit l’approche à mon sens la plus prometteuse, qui
utilise de manière fondamentale le caractère géométrique de l’EDP. Elle consiste à “voir”
le graphe d’une solution de (1.4) comme l’évolution généralisée par courbure moyenne
(donnée par l’approche par lignes de niveau décrite dans le § 2.1) d’une hypersurface de
R N+1 gouvernée par (1.3) (posée dans R N+1 ×(0, +∞)). Outre des bornes L ∞ locales pour
les solutions, ceci nous a permis de reformuler le problème d’unicité comme un problème de
non-épaississement des évolutions généralisées de graphes par courbure moyenne. Citons
une version particulière de ce résultat qui nous sera utile pour la suite.
Théorème 2.4. [4, Sections 8-9] (Structure du front et reformulation du problème d’unicité).
Soit v 0 ∈ C(R N ) et Γ t l’évolution généralisée (au sens du Théorème 2.2) de Γ 0 :=
Graph(v 0 ) dans R N+1 . Alors
(1) Pour toute solution v de (1.4), on a Graph(v(·, t)) ⊂ Γ t pour tout t ≥ 0;
(2) Les bords supérieur et inférieurs de Γ t sont des graphes de fonctions définies, pour
tous (x, t) ∈ R n × [0, +∞), respectivement par
v + (x, t) = sup{y ∈ R : (x, y) ∈ Γ t } et v − (x, t) = inf{y ∈ R : (x, y) ∈ Γ t }.