HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS ET ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI 11
Nous considérerons ici deux problèmes modèles où la vitesse peut s’écrire sous la forme
(1.5). Le premier est la dynamique des dislocations (voir § 2.3.1 pour des précisions) pour
laquelle
(1.7)
c[1 Ωt
](x, t) = c 0 ⋆ 1 Ωt
(x) + c 1 (x, t),
avec une convolution en espace seulement : c 0 ∈ L 1 (R N ) et
∫
(1.8)
c 0 ⋆ 1 Ωt
(x) = c 0 (x − y)1 Ωt
(y)dy.
R N
L’équation géométrique associée est alors une équation eikonale non-locale,
∂u
(1.9)
∂t (x, t) = c[1 {u≥0} ](x, t)|Du(x, t)| dans R N × [0, T].
Le second problème modélise l’asymptotique d’un système de FitzHugh-Nagumo (à ce
sujet, quelques précisions sont données dans le § 2.3.2). Dans ce cas,
c[1 Ωt
](x, t) = α(v(x, t)),
où α est une fonction réelle lipschitzienne et v est elle-même solution d’une équation du
type (pour simplifier)
∂v
(1.10)
∂t − ∆v = 1 Ωt
dans R N × (0, T).
En utilisant la formule de représentation pour l’équation de la chaleur (avec donnée initiale
nulle), on en déduit
(1.11)
v(x, t) = G ∗ 1 Ωt
(x, t),
où “∗” est la convolution usuelle (en espace-temps) et G est le noyau de Green classique.
On obtient bien alors une vitesse du type (1.5) et l’équation géométrique associée s’écrit
comme (1.9) avec
(1.12)
c[1 {u≥0} ](x, t) = α(G ∗ 1 {u≥0} (x, t)).
Les problèmes d’évolutions de fronts ci-dessus (qu’ils soient locaux ou non-locaux)
peuvent être rangés dans deux classes suivant que l’évolution est monotone ou pas.
Les évolutions monotones sont celles où le principe d’inclusion est vérifié. Cela signifie
que si l’on démarre de deux ensembles Ω 1 0 et Ω 2 0 satisfaisant Ω 1 0 ⊂ Ω 2 0 et qu’on les fait
évoluer indépendamment avec la même vitesse, on a
(1.13)
Ω 1 0 ⊂ Ω2 0 =⇒ Ω 1 t ⊂ Ω2 t
pour tout t ≥ 0.
Au moins formellement, le principe d’inclusion est vrai pour des vitesses vérifiant la propriété
suivante :
(1.14)
Ω ⊂ Ω ′ ⊂ R N et x ∈ ∂Ω ∩ ∂Ω ′ =⇒ V Ω (x) ≤ V Ω ′(x).
Par exemple, cette propriété est vérifiée pour le mouvement par courbure moyenne et pour
le mouvement traduit par (1.2). C’est également le cas pour les problèmes d’évolution reliés
à l’optimisation de formes dont je parle dans la suite. En utilisant l’approche par lignes