HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS ET ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI 47
Pour continuer, nous avons besoin d’une estimation sur les termes de Hele-Shaw qui
est prouvée dans [CR06] : pour tout ρ > 0 petit, il existe une constante µ > 0 telle que,
pour tout ensemble Ω de bord C 1,1 et tout vecteur de translation p, on ait
h 2 (x + p, Ω + p) = |Dv Ω+p (x + p)| 2 ≤ (1 + µ|p|)h 2 (x, Ω) = (1 + µ|p|)|Dv Ω (x)| 2
dès que ∂Ω est à distance au moins ρ de la source et Ω est dans une grosse boule de rayon
1/ρ. Dans la formule ci-dessus, v Ω désigne la solution de (1.19) dans Ω. En appliquant ce
résultat dans notre cas, on obtient
(2.38)
car |y 1 − y 2 | ≤ ε.
|Dv Σ1 s 1 (y 1 )| 2 ≤ (1 + µ|y 1 − y 2 |)|Dv Σ2 s 2 (y 2 )| 2 ≤ (1 + µε)|Dv Σ2 s 2 (y 2 )| 2
Nous avons maintenant tous les éléments pour conclure. On écrit que ˜K 1 est une soussolution
en utilisant Σ 1 comme tube test tangent extérieurement :
V Σ 1 s1
(y 1 ) ≤ h λ1 (y 1 , Σ 1 s 1
) = H Σ 1 s1
(y 1 ) + λ 1 |Dv Σ1 s 1 (y 1 )| 2
et que ̂K 2 est une sur-solution en utilisant Σ 2 comme tube test tangent intérieurement :
V Σ 2 s2
(y 2 ) ≥ h λ2 (y 2 , Σ 2 s 2
) = H Σ 2 s2
(y 2 ) + λ 2 |Dv Σ2 s 2 (y 2 )| 2
Comme Σ 1 et Σ 2 sont égaux à une translation près, on a l’égalité des vitesses V Σ 1 s1
(y 1 ) =
V Σ 2 s2
(y 2 ) ce qui donne, en utilisant (2.37) et (2.38),
H Σ 2 s2
(y 2 ) + λ 2 |Dv Σ2 s 2 (y 2 )| 2 ≤ H Σ 1 s1
(y 1 ) + λ 1 |Dv Σ1 s 1 (y 1 )| 2
≤ H Σ 2 s2
(y 2 ) + λ 1 (1 + µε)|Dv Σ2 s 2 (y 2 )| 2 .
En prenant ε > 0 assez petit, comme λ 1 < λ 2 , on obtient la contradiction espérée qui
termine la preuve.
2.4.4. Convergence vers l’équilibre. Comme expliqué dans l’introdution, la motivation de
l’étude du problème d’évolution (2.33) est d’approcher, quand t → +∞, une solution
de (1.25) ou (1.27). Nous montrons le résultat suivant :
Théorème 2.21. [10, Theorem 4, Corollary 1] (convergence du flot (2.33)) Supposons
que la source S (définie à la suite de (1.17)) soit strictement étoilée. Soit λ > 0 et K
une solution de (2.33) avec h λ de la forme (1.20) ou (1.28). Alors K(t) converge, pour la
distance de Hausdorff, vers l’unique solution K ∞ de du problème de Bernoulli extérieur
généralisé
(2.39)
Trouver K ⊂⊂ R N tel que S ⊂⊂ K et h λ (x, K) = 0 pour tout x ∈ ∂K.
Pour être complet, nous devons expliciter la notion de solution pour (2.39) puisque
K ∞ n’est pas régulier en général. Nous dirons que K est une solution de (2.39) si le
tube (constant en temps) ∪ t≥0 K × {t} est une solution du problème d’évolution (2.33)
(au sens de la Définition 2.16). Il y a plusieurs notions de solutions faibles pour de tels
problèmes de frontières libres, nous renvoyons le lecteur au papier de Flucher et Rumpf
[FR97]. La définition que nous donnons ici est la plus commode dans notre cadre (voir
Beurling [Beu58] pour une définition semblable). Nous prouvons l’existence de solutions
([10, Proposition 7]) et l’hypothèse sur le caractère étoilé de la source nous permet de