HABILITATION`A DIRIGER DES RECHERCHES ... - Olivier LEY

ÉVOLUTION DE FRONTS ET ÉQUATIONS DE HAMILTON-JACOBI 29
problèmes de bord. La dynamique est donnée par une vitesse normale proportionnelle à la
force de Peach-Koehler. Cette force a deux contributions : la première est une force propre
de la dislocation créee par le champ électrique qu’elle génère (c’est cette force qui induit
le terme non-local); la seconde est une force extérieure locale provenant par exemple des
contraintes exercées sur le matériau. En résumé, la vitesse est donnée par (1.7) et nous en
déduisons l’équation (2.11) (a priori dans R 2 ×[0, T] mais nous nous plaçons en dimension
N).
Les dislocations sont étudiées en physique des matériaux, autant du point-de-vue théorique
qu’expérimental. L’étude mathématique de la dynamique des dislocations a été entreprise
par Régis Monneau et ses collaborateurs (voir entre autres [AHLBM04, AHLBM06,
ACM05, ACMR06, CDLFM07], etc.). Ici nous nous cherchons plus particulièrement à
définir des solutions (faibles) globales en temps pour lesquelles nous sommes capables de
prouver des résultats d’unicité. Le premier travail dans cette direction est dû à Alvarez,
Hoch, Le Bouar et Monneau [AHLBM06] où est obtenu un résultat d’existence et d’unicité
en temps court (jusqu’à l’apparition de singularités). Le premier résultat d’unicité
(pour des solutions de viscosité discontinues) a été démontré par Alvarez, Cardaliaguet
et Monneau [ACM05] pour des vitesses positives (les lignes de dislocations “croissent”)
assez régulières (C 1,1 ) en démarrant de dislocations initiales ayant une propriété de boule
intérieure. Dans [8], avec Guy Barles, nous proposons une démonstration différente et plus
simple de ce résultat; les techniques d’EDP que nous développons (bornes inférieures de
gradient sur le front, semiconvexité des solutions et estimations L 1 des lignes de niveaux)
nous ont permis de d’aboutir aux résultats de [13, 16]. Enfin, mentionnons le travail de
Cardaliaguet et Marchi [CM06] pour des dislocations avec conditions de Neumann au
bord.
Nous avons utilisé diverses hypothèses sur c 0 et c 1 qui ont été affaiblies au cours de nos
différents travaux. Commençons par les hypothèse de bases :
(dislo-1) c 0 , c 1 ∈ C(R N × [0, T]) et il existe des constantes ¯c, ¯C > 0 telles que, pour tous
x, y ∈ R N , t ∈ [0, T],
|c 0 (x, t)| + |c 1 (x, t)| ≤ ¯c,
|c 0 (x, t) − c 0 (y, t)| + |c 1 (x, t) − c 1 (y, t)| ≤ ¯C|x − y|.
De plus c 0 ∈ C([0, T], L 1 (R N )).
Notons que cette hypothèse entraîne que la vitesse est bornée :
∫
c[1 {u(·,t)≥0} ](x, t) = c 0 (x − y)1 {u(·,t)≥0} (y)dy + c 1 (x, t) ≤ sup |c 0 (·, t)| L 1 (R N ) + ¯c.
R N 0≤t≤T
Ces hypothèses sont un peu plus générales que celles données par la physique (en réalité c 0
ne dépend pas du temps et N = 2). Enfin, rappelons que c 0 change de signe (voir (1.15)).
2.3.2. Un système apparaissant dans un modèle de FitzHugh-Nagumo. Nous nous intéressons
au système
(2.12)
⎧
⎨
⎩
u t = α(v)|Du|
dans R N × (0, T),
v t − ∆v = g + (v)1 {u≥0} + g − (v)(1 − 1 {u≥0} ) dans R N × (0, T),
u(·, 0) = u 0 , v(·, 0) = v 0 dans R N .