x - Didier

74 Bracelets de luxeUn artisan joaillier doit fabriquer pour une bijouterie des braceletsor et argent de deux types A et B.Les consignes de fabrication sont les suivantes :• chaque bracelet doit contenir 10 grammes d’or ;• un bracelet de type A doit en outre contenir 20 grammesd’argent et être décoré de 10 éclats de diamant ;• un bracelet de type B nécessite par ailleurs 50 grammesd’argent et 40 éclats de diamant.Pour cet ouvrage, le joaillier reçoit 207 grammes d’or, 600 grammesd’argent et 450 éclats de diamant.Les délais qui lui sont imposés font qu’il ne dispose que de46 heures de travail.1. Sachant qu’un bracelet de type A lui demande 3 heures detravail et un bracelet de type B, 2 heures, écrire l’ensemble descontraintes de fabrication sous forme d’un système d’inéquations.Aide : On désigne par x et y les nombres entiers respectifs de bracelets Aet B fabriqués.Représenter graphiquement ces contraintes (unité sur chaqueaxe : 0,5 centimètre).2. Le travail de l’artisan est rémunéré de la façon suivante :40 euros pour la fabrication d’un bracelet de type A et 54 eurospour celle d’un bracelet de type B. Il doit justifier l’emploi de lamatière première et rendre celle qui n’est pas utilisée.a. Quel nombre de bracelets de chaque type doit-il fabriquerpour obtenir le meilleur salaire ?b. À combien s’élève alors son salaire horaire ?c. Quelle matière première doit-il rendre ?Et en quelle quantité ?75RestructurationUne entreprise emploie au 1 er janvier 5400 employés répartis entrois catégories de personnel : A, B et C.Le responsable du personnel souhaite restructurer l'entreprise,à effectif global constant.Il affirme : « Si on diminue dans l’année les effectifs des catégoriesA et B respectivement de 1 % et de 4 %, et que l’on augmentel’effectif de la catégorie C de 12 %, l’entreprise conserverale même nombre global d’employés. »Son adjoint affirme quant à lui : « On pourrait diminuer les effectifsdes catégories A et B respectivement de 1 % et de 1,5 % etaugmenter l’effectif de la catégorie C de 6 % : l’entreprise conserveraitle même nombre global d’employés. »Sachant qu’aucun ne se trompe dans ses calculs, déterminer larépartition initiale du nombre d’employés par catégories.76 Glaces exotiquesDans une cafétéria, on sert deux sortes de desserts glacés, à basede cocktail exotique, de glace et de fruits confits : la coupe créoleet la coupe tropicale. La confection d’une coupe créole nécessite8 centilitres de cocktail exotique, 2 centilitres de glace et 15 grammesde fruits confits ; celle d’une coupe tropicale 5 centilitres decocktail exotique, 2 centilitres de glace et 25 grammes de fruitsconfits.Chaque jour, l’atelier de pâtisserie peut préparer au maximum1 600 centilitres de cocktail exotique, 520 centilitres de glaceet 5000 grammes de fruits confits.Soit x le nombre de coupes créoles et y le nombre de coupes tropicalesservies chaque jour.1. Écrire les contraintes de confection des coupes.À tout couple (x ; y) on associe le point M(x ; y) dans un repère(O ; i , j ) où 1 centimètre représente 20 coupes sur chaque axe.2. Déterminer graphiquement l’ensemble des points M, pour lesquelsles contraintes de la question précédente sont vérifiées.3. Sachant qu’une coupe créole est vendue 2 euros et une coupetropicale 1,50 euro :a. calculer, en fonction de x et y, la recette journalière R ;b. calculer les coordonnées du point I, intersection de la droited’équation 8x +5y = 1 600 et de la droite d’équation3x +5y = 1000 ;c. déterminer le couple (x ; y) pour lequel R est maximale etcalculer cette valeur maximale.77 Les bœufs de NewtonTrois bœufs ont mangé en deux semaines l’herbe contenue dansdeux arpents de prés, plus l’herbe qui y a poussé pendant cesdeux semaines.Deux bœufs ont mangé en quatre semaines l’herbe contenuedans deux arpents, plus l’herbe qui y a poussé pendant cesquatre semaines.Combien faudrait-il de bœufs pour manger en six semaines,l’herbe contenue dans six arpents, plus l’herbe qui y pousseraitpendant six semaines ?On suppose que l’herbe croît uniformément et que les bœufsmangent également.Indication : Soit x la quantité d’herbe contenue dans un arpent, y laquantité d’herbe mangée par un bœuf en une semaine, z la quantitéd’herbe poussée sur un arpent pendant une semaine et b le nombre debœufs cherché…78 Le prix des soucisAu pays des merveilles, seules les voyelles ont un prix, les consonnessont gratuites.C’est ainsi qu’une pivoine coûte seize flodors, une rose en coûtehuit, un œillet quinze, un géranium coûte autant qu’un œillet etun dahlia autant qu’une rose.Mais quel est donc, en flodors, le prix d’un souci ?60r chapitre 2 Systèmes