x - Didier

3 Systèmes linéairesde trois équations à trois inconnuesNotationContrairementaux systèmes2 2, nous nedisposons pasen 1 re d’outilpermettant desavoir si unsystème 3 3a une solutionunique.On appelle système linéaire de trois équations à trois inconnues un système de la{ax + by + cz = dforme a'x + b'y + c'z = d ', où a, b, c, d, a', b', c', d ', a", b", c", d " sont desa"x + b"y + c"z = d "constantes données, les inconnues étant x, y et z.Lorsqu’il y en a, les solutions d’un tel système sont des triplets (x ; y ; z).{x +2y – z =2EXEMPLE : Le triplet (1 ; 2 ; 3) est solution du système x + y + z = 6.– x +2z =544 r chapitre 2 SystèmesLes opérations suivantes ne modifient pas les solutions d’un système :• Permuter deux lignes, L1 L3• Multiplier les deux membres d’une équation par un même nombre non nul,L1 L1• Remplacer une ligne par la somme de cette même ligne avec une autre ligne,L1 L1 + L2• Exprimer, à partir d’une équation, l’une des inconnues en fonction des deuxautres et la substituer dans les deux autres équations, SubstitutionEXEMPLES : Attention, les exemples suivants ne constituent pas la seule ni la meilleureméthode de résoudre le système proposé ; leur but est simplement d’illustrer lethéorème.{–2x +2y +9z =29{– x +2z =5• 3x +4y –3z =2 ⇔ –2x +2y +9z =29 L1 L3– x +2z =53x +4y –3z =2Intérêt : Mettre en première position la ligne intéressante pour une future substitution{– x +2z =5{x =2z –5{x =2z –5• –2x +2y +9z =29⇔ –4z +10+2y +9z =29⇔2y +5z =193x +4y –3z =2 6z –15+4y –3z =2 4y +3z =17Intérêt : Les deux dernières équations constituent un système 2 2.{x =2z –5{x =2z –5• 2y +5z =19 ⇔ –4y –10z =–38 L2 – 2 L24y +3z =17 4y +3z =17Intérêt : Dans les deux dernières lignes, les coefficients de y sont opposés et prêts à êtreadditionnés.{x =2z –5• –4y –10z =–38 ⇔4y +3z =17{x =2z –5–4y–10z =–38–7z =–21Intérêt : L’addition des deux dernières lignes permet d’avoir z comme seule inconnuedans la troisième équation.Il ne reste plus, pour terminer la résolution de ce système, qu’à calculer z dans la troisièmeéquation (z = 3), puis y connaissant z dans la deuxième (y = 2) et enfin x connaissantz dans la première (x = 1).Le système a donc pour unique solution le triplet (1 ; 2 ; 3).L3L3 + L2Substitution