x - Didier

3 Résolution par substitutionÉNONCÉSOLUTIONRésoudre, par la méthode de substitution, le systèmeC’est dans la deuxième équation qu’il est le plus facile d’exprimer une inconnue, à savoir y, en fonctiondes deux autres.{2x +5y +4z =3{y =–3x +2z –2L2 L13x + y –2z = –2 ⇔ 2x + 5(– 3x +2z –2)+4z = 3 substitution5x +2y +3z =–3 5x + 2(– 3x +2z –2)+3z =–3 substitution⇔⇔⇔{y =–3x +2z –2–13x +14z = 13– x +7z =1{y =–3x +2z –2x= 7z –1– 13(7z –1)+14z =13{y =–3x +2z –2x = 7z –1–77z =0Le triplet (– 1 ; 1 ; 0) est donc l’unique triplet solution du système proposé.⇔{z =0x= –1.y =1{2x +5y +3z =33x + y –2z =–2 .5x +2y +3z =–3On peut exprimer x en fonction de z dans la3 e équation et le substituer dans la deuxième.Lorsque l’un descoefficients de x, y ou z est égal à1 ou – 1, la substitution donnedes calculs simples.4 Méthode par combinaisons linéaires{2x –3y +2z = –6 (L1)ÉNONCÉ On considère le système (S) 4x +5y –4z = 18 . (L2)–12x +2y +5z = – 13 (L3)1. Quelle équation (E1) obtient-on en faisant l’opération L2 – 2L1 ?2. Quelle équation (E2) obtient-on en faisant l’opération L3 + 3 L2 ?3. Quelles valeurs donner à a et b pour que l’opération a E1 – b E2 élimine les z ?4. Terminer la résolution du système en n’oubliant pas de vérifier que le triplet trouvé est biensolution du système.SOLUTION1. On obtient (4x +5y –4z) – 2(2x –3y +2z) = 18 – (– 6), doncl’équation (E1) est 11y –8z = 30.Ici on commence2. On obtient (– 12x +2y +5z) + 3(4x +5y –4z)=–13+3 18 par éliminer l’une des troisdonc l’équation (E2) est 17y –7z = 41.inconnues en combinant deux3. L’opération 7 E1–8 E2 donneéquations une première fois, puis7(11y –8z) – 8(17y –7z) =7 30–8 41, soit – 59y = – 118.deux autres équations unedeuxième fois.4. On a donc y = 2 ; en reportant cette valeur dans (E2), on Cette méthode nécessite la vérificationque le triplet trouvé estobtient – 7z = 7, donc z =–1.En substituant ces deux valeurs dans (L3) par exemple, on obtient bien solution.2x = 2, donc x =1.Si le système a une solution, cette solution est forcément le triplet (1 ; 2 ; – 1).Vérification : 2x –3y +2z =2 1–3 2+2 (– 1) = – 6 ; le triplet vérifie donc (L1).On vérifie de même qu’il vérifie (L2) et (L3).chapitre 2 Systèmes r 45