Évaluation des risques de la réplique d'une option ... - Finances

ÉVALUATION DES RISQUES DE LA RÉPLIQUE D’UNE OPTION ASIATIQUE EN TEMPS DISCRET⎡N⎤−r(T −t)*⎛ 1 ⎛ ⎞ ⎞C = e E ⎢Max⎜ ⎜∑S(t ) ⎟ − ,0⎟iK ⎥ , (1)⎣ ⎝ N ⎝ i=1 ⎠ ⎠⎦*où E [] : espérance mathématique sous la probabilité de risque neutre.dS = ( r − rf ) Sdt + σSdtε (Diffusion stochastique de probabilité risque neutre).( r−r−1 2σ )*( t1−ti1)σ t1ti1ε2− + − − ifS(ti) = S(ti−1) eS ( t i) : taux de change $CA/$US à t i.εt~ iidN(0,1) .K : prix d’exercice de l’option.rf: taux d’intérêt sans risque dans la devise étrangère ($US).r : taux d’intérêt sans risque dans la devise domestique.T : échéance de l’option.t : moment où se fait l’évaluation.ti: moment d’enregistrement de la lecture i de la moyenne.σ : volatilité du titre sous-jacent.Cette équation ne possède cependant pas d’expression analytique. Des méthodesindirectes sont donc nécessaires pour obtenir le prix de l’option. La méthode desimulation Monte Carlo est une procédure numérique largement utilisée pour évaluer cetype d’équation. Elle consiste en la simulation du processus de diffusion du titre sousjacentsous la probabilité risque neutre. La répétition de ce procédé procure uneapproximation de la distribution de la valeur de l’option. L’espérance sous la probabilitérisque neutre peut donc être calculée. Le principal désavantage de cette méthode est letemps d’évaluation nécessaire à l’obtention d’une bonne précision. Ceci fait en sorte quecette procédure ne peut être utilisée d’une façon efficace dans la problématiqued’analyse de la réplique d’une option asiatique.Il existe cependant dans la littérature financière des solutions approchées à cetteéquation. Vorst (1992) a proposé une approximation de la valeur de l’option à taux moyenarithmétique par la solution analytique d’une option asiatique de moyenne géométrique.Cependant, la valeur d’une moyenne géométrique est toujours inférieure ou égale à lavaleur d’une moyenne arithmétique, ce qui introduit un biais à l’estimation. Le prix donnépar l’approximation de Vorst est donc une borne inférieure de la valeur de l’option. Pourcorriger ce biais, Vorst propose de modifier le prix d’exercice comme suit :K'NN⎡* ⎛ 1 ⎞ * ⎛= K − ⎢E⎜ ∑ S(ti) ⎟ − E ⎜ ∏ S(ti)⎣ ⎝ N i=m+1 ⎠ ⎝ i=m+11N⎞⎤⎟⎥.⎠⎦8