Évaluation des risques de la réplique d'une option ... - Finances

ÉVALUATION DES RISQUES DE RAPPEL LA RÉPLIQUE SUR LES D’UNE OPTIONS OPTION ASIATIQUES ASIATIQUE EN TEMPS DISCRETL’écart entre les deux processus est donc considéré. De même, les valeurs explicitesde ces espérances sont données par :E⎛⎜⎝*1NN∑i=m+1⎞S(ti) ⎟ = S(t)⎠N∑ei=m+1( r−rf)( ti−t)/ N ,EN21G* ⎛σNu G +∏2,⎜⎝i=m+1⎞S(t i) ⎟ = e⎠avec m points de moyenne déjà enregistrés.Levy (1992) propose d’estimer le processus de diffusion de l’option asiatique à taux2moyen arithmétique par une loi normale. Il fait l’hypothèse que ln( ( t )) ~ N(α,ν ) etil utilise la fonction génératrice des moments de ln( A ( t )) . De plus, EetNA N*[ A(tN)] = e2α +ν / 22* 2 2α + 2νE [ A(tN) ] = e possèdent des solutions connues. Ainsi, en résolvant le systèmed’équations, les paramètres α et ν sont identifiés :12α = 2ln E(A(t )) − ln E(A() ) ,N 2t N22ν = ln E(A(t ) ) − 2ln E(A()) .Nt NLe résultat de l’approximation de Levy est déterminé par la solution analytique del’option asiatique à taux moyen géométrique en substituantuGpar α et2σ par ν .2GLevy estime la distribution de A t ) par une loi lognormale ayant comme( Ncaractéristique une moyenne et une variance correspondant à la distribution à estimer.Cependant, une certaine incertitude demeure en ce qui a trait aux moments supérieurs.Pour des niveaux de volatilité élevés (supérieurs à 20 %), l’importance de ces momentsdevient significative et peut mener à un biais important entre le prix réel de l’option et leprix donné par ce modèle.Turnbull et Wakeman (1991) utilisent le développement en séries de cette fonctiondans le but de procéder aux ajustements nécessaires compte tenu des moments d’ordresupérieur. Supposons f *(ω)la fonction de densité conditionnelle de A t )( [ A t ) = ω]P ), en posant a (ω ) comme une distribution approximative, f *(ω)peut( Nêtre développée comme suit (Jarrow et Rudd (1992)) :( N9