Numerikus sorok - Index of

More documents

Recommendations

Info

$t.-l ,\l$

3. Sorok abszolút és feltételes konvergenciája ✎☞ ∑ ∞ ✍✌ D ak sor abszolút konvergens, ha ∞∑ ( Pl. − 1 k abszolút konvergens. 2) k=1 ∞∑ |ak | konvergens. (Konvergens geometriai <strong>sorok</strong>ról van szó, ahol a kvóciens − 1 2 illetve 1 2 . ) ∞∑ (−1) k+1 k=1 k nem abszolút konvergens, de konvergens. ✎☞ ✍✌ D Feltételesen konvergens sor: a konvergens, de nem abszolút konvergens sor ∞∑ (−1) k+1 Ilyen pl. a sor. k k=1 ∑ Ugyanis beláttuk, hogy ez a sor konvergens, de a ∞ (−1) k+1 ∣ k ∣ = ∑ ∞ k=1 k=1 1 k sor divergens. ✎☞ ✍✌ T ( ∞ ∑ |ak | konvergens ) =⇒ ( ∞ ∑ ak konvergens) Tehát az abszolút konvergenciából következik a konvergencia. ✎☞ ∞∑ ✍✌ B Ha |ak | konvergens, akkor teljesül rá a Cauchy kritérium, továbbá miatt |a n+1 + · · · + a n+k | ≤ |a n+1 | + · · · + |a n+k | |a n+1 + · · · + a n+k | ≤ ||a n+1 | + · · · + |a n+k || < ε, ha n > M(ε), k ∈ N + } {{ } Cauchy kritérium ∞ ∑ |ak |-ra ∞∑ Így ak -ra is teljesül a szükséges és elégséges tétel (Cauchy kritérium), tehát konvergens. Ez a tétel azt mutatja, hogy az abszolút konvergencia vizsgálata igen hasznos lehet. A ∞ ∑ |ak | sor elemei nem negatívak, sőt pozitívnak tekinthetők, mivel a nulla elemeket nyilván nem kell figyelembe vennünk. c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 9 v1.4
4. Pozitív tagú <strong>sorok</strong> ✎☞ ✍✌ T (i) Egy pozitív tagú sor részletösszegei monoton növekedőek. (ii) Egy pozitív tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha részletösszegeinek sorozata korlátos. ✎☞ B ✍✌ (i) Ha a n ≥ 0, ∀ n ∈ N, akkor s n+1 = s n + a n+1 ≥ s n ∀ n-re. (ii) a) Ha a sor konvergens, akkor (s n ) konvergens =⇒ (s n ) korlátos b) Ha (s n ) korlátos, akkor (s n ) ↗ miatt (s n ) konvergens. ✎☞ ✍✌ M Pozitív tagú sor vagy konvergens, vagy ∞-nel egyenlő. Ez nem igaz általánosságban egy váltakozó előjelű sorra, ahol a részletösszegek sorozatának lehet több torlódási pontja ∞∑ (pl. (−1) k ). k=0 ✎☞ ✍✌ T a k > 0; a k ≥ a k+1 feltételek mellett ∞∑ a a k sor akkor és csak akkor konvergens, ha k=1 ∞∑ a 2 l · 2 l l=1 is konvergens ✎☞ ✍✌ B (¬B) A bizonyítás lényege, hogy az első sor részletösszegei a második sor megfelelő részletösszegeivel alulról és felülről is becsülhetőek. A becslés igazolásához fontos feltenni, hogy az (a k ) sorozat monoton csökken. (A részletes bizonyítás megtekinthető Walter Rudin: A matematikai analízis alapjai című könyvében.) Példák a tétel alkalmazására: ✓✏ ∞∑ 1 Pl. ✒✑ konvergens, ha α > 1 . nα n=1 Egyébként divergens. Ha α ≤ 0 : a n = 1 n α = n|α| ↛ 0 A konvergencia szükséges feltétele nem teljesül =⇒ divergens a sor. Ha α > 0 : a n = 1 ↘ , így alkalmazható az előző tétel: nα c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 10 v1.4
Page 1 and 2: VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS
Page 3 and 4: s 2k+1 = 1 → 1 s 2k = 0 → 0 } =
Page 5 and 6: ✎☞∑ ∞ ∞∑ ✍✌ M (c ·
Page 7 and 8: 1.1. A konvergencia szükséges fel
Page 9: =⇒ lim c n = 1 =⇒ lim a n ≠ 0
Page 13 and 14: A tétel alkalmazható. ∞∑ 1 2
Page 15 and 16: A sor divergens, mivel a rendőrelv
Page 17 and 18: ∞∑ ∞∑ a n -nek q n−1 a 1
Page 19 and 20: (lim a n+1 a n Ha a n > 0 ∀ n, é
Page 21 and 22: lim n→∞ n√ an = lim n→∞
Page 23 and 24: Most viszont a hányados kritérium
Page 25 and 26: 2. ∫ n 1 f(x) dx ≤ a 1 + a 2 +
Page 27 and 28: t 1 = b 1 a 1 , t 2 = b 2 a 1 + b 2
Page 29 and 30: Házi feladat: ∞∑ x k ∞∑ Ha
Page 31 and 32: m) n) o) p) q) r) s) ∞∑ ( ) n n
Page 33 and 34: 8. Számsorozatok nagyságrendje
Page 35 and 36: ✎☞ ✍✌ T a n , b n , c n , d
Page 37 and 38: 1. megoldás: lim n→∞ cos 1 n
Page 39: ✎☞ ✍✌ D an = o(b n ) ( kis

Numerikus sorok - Index of

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?