Numerikus sorok - Index of

s 2k+1 = 1 → 1
s 2k = 0 → 0
}
=⇒ (s n ) -nek 2 torlódási pontja van, a sor divergens.
✓✏
Pl.
✒✑
∞∑
( ) k 1
= 1 ( ) 2 ( n
(
1 1
2 2 + 1 1
) n
2 − 1
+ · · · + + · · · = lim
2
2)
n→∞
1
2
k=1 } {{ }
− 1 = 1 2
2
} {{ }
s n
s n
−1
− 1 2
= 1 ,
tehát a sor konvergens.
✓✏
Pl.
✒✑
∞∑ 1
k (k + 1) = 1 , mert
k=1
lim
n→∞
n∑
k=1
1
k (k + 1) = lim
n→∞
(( ) −1
= lim
n→∞ 2 + 1 +
(
= lim 1 − 1
n→∞ n + 1
(
n∑ −1
k=1 k + 1 + 1 )
=
k
( −1
3 + 1 ) ( −1
+
2 4 + 1 ) ( −1
+ · · · +
3
n + 1 + 1 ))
=
n
)
= 1, konvergens a sor.
✓✏∞∑
1
Pl.
✒✑ k
k=1
(harmonikus sor) divergens
Ugyanis
( ( 1 1
s 2 k = 1+ +
2)
3 4)
+ 1 ( 1
+
5 + 1 6 + 1 7 + 1 (
+· · ·+ · · · +
8)
1 )
+
2 k−1
≥ 1 + 1 2 + 2 · 1
4 + 4 · 1
8 + · · · + 2k−1 · 1
2 k = 1 + k · 1
2 → ∞
lim s 2 = ∞ =⇒ ∑ ∞
1
k→∞ k k = ∞
Ugyanis s n ≥ s 2 k, ha n > 2 k miatt lim
n→∞
s n = ∞.
•••
k=1
(
1
2 k−1 + 1 + · · · + 1 )
≥
2 k
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 2 v1.4