Numerikus sorok - Index of

A sor divergens, mivel a rendőrelvvel megmutatható, hogy
lim
n → ∞
a n = 1 , tehát nem
tart nullához, így nem teljesül a konvergencia szükséges feltétele. Részletezve:
1
n√ √ 5 (
n
n) 5 =
} {{ }
↓
1
1 · 1 = 1 5
1
n√
2n5 + 3n 5 ≤ a n =
=⇒ a n → 1 .
1
n√
2n5 + 3 < 1 n √ 1 = 1 }{{}
↓
1
✓✏∞∑
Pl.
✒✑
n=1
n + 2
3n 4 + 5
=
∞∑
n=1
a n
a n < n + 2n
3n 4 = 1 n 3 , ∞
∑
n=1
1
n 3 konvergens (α = 3 > 1) =⇒
∞∑
n=1
a n
konvergens
✓✏∞∑
Pl.
✒✑
n=1
2n 2 − 32
n 3 + 8
=
∞∑
n=1
a n
n ≥ 4 -re a sor pozitív tagú. A minoráns kritériummal megmutatjuk, hogy divergens.
Ugyanis, ha n ≥ 6 , akkor n 2 > 32 és ezért
a n = 2n2 − 32
n 3 + 8
> 2n2 − n 2
n 3 + 8n 3 = 1
9n ,
∞
∑
n=1
1
9n = 1 9
∞∑
n=1
1
n divergens
=⇒
∞∑
n=1
a n
divergens.
✓✏∞∑
Pl.
✒✑
n=1
2 n + 3 n+1
2 2n+3 + 5
=
∞∑
n=1
a n
1
2
∞∑
n=1
a n = 2n + 3 · 3 n
8 · 4 n + 5 < 3n + 3 · 3 n
= 1 ( n 3
8 · 4 n 2 4)
( ) n 3
konvergens geometriai sor
(q = 3 )
4
4 , |q| < 1
=⇒
∞∑
n=1
a n
konvergens
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 14 v1.4