Numerikus sorok - Index of

More documents

Recommendations

Info

$t.-l ,\l$

0 < a n ≤ a n+1 , tehát a n ↗ (és a n > 0) =⇒ a n ↛ 0 (nem teljesül a szükséges ∞∑ feltétel) =⇒ a n divergens 1 A hányados kritérium egy kényelmesebben használható formában is kimondható: ✎☞ T ✍✌ 1 ∗ 1. (a n > 0, ∀ n) ∧ 2. (a n > 0, ∀ n) ∧ ( ) a n+1 ∃ lim = c < 1 n→∞ a n ( ) a n+1 ∃ lim = c > 1 n→∞ a n =⇒ =⇒ ∞∑ a n konv. n=1 ∞∑ a n div. n=1 ✎☞ B ✍✌ 1. Legyen ε = 1 − c , így q = c + ε < 1. A határérték tulajdonsága miatt 2 a n+1 < q < 1 , ∀ n > N(ε). a n ∞∑ ∞∑ Ezért T 1 (1)-ből adódik, hogy a n n=N(ε) és így vele együtt 2. Legyen ε = c − 1 , így q = c − ε > 1 . Ekkor ∃ N(ε) , hogy 2 a n+1 > q > 1, ∀ n > N(ε). a n Így T ∗ 1 (2)-ből adódik az állítás. a n n=1 is konvergens. T ∗ a n+1 1 (2) állítása c = ∞ esetén is igaz. Ugyanis, ha lim n→∞ a n megfelelő q . (Pl. q = 2 is választható.) 1 ✎☞ M4 ✍✌ = ∞ , akkor is található ✎☞ a n+1 M3 ✍✌Ha lim = 1 , akkor nem tudtunk meg semmit a konvergenciáról. Lehet a n→∞ a n sor konvergens és divergens is. ∞∑ 1 ∑ ∞ 1 a n+1 Pl. divergens, és a konvergens <strong>sorok</strong> esetén egyaránt lim = 1. n n 2 n→∞ a n 1 A fenti tétel tovább finomítható. Bebizonyíthatók az alábbi állítások is: Ha a n > 0 ∀ n, és lim a n+1 a n < 1 =⇒ ∞∑ a n konvergens. 1 c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 17 v1.4
(lim a n+1 a n Ha a n > 0 ∀ n, és lim a n+1 a n > 1 =⇒ ≥ 1 a konvergenciáról nem mond semmit.) ∞∑ a n divergens. 1 ✓✏ Pl. ✒✑Konvergens-e az alábbi sor? ∞∑ (n + 2) 3 n+1 n=1 n! A feladatot a T ∗ 1 lim n → ∞ a n+1 a n = lim n → ∞ tétellel (hányadoskritériummal) oldjuk meg. (n + 3) 3 n+2 n! = lim (n + 1)! (n + 2) 3n+1 n → ∞ 3 (n + 3) (n + 1) (n + 2) = = lim n → ∞ 3 n 1 + 3 n (1 + 1 ) ( 1 + 2 ) = 0 < 1 =⇒ n n ∞∑ an konvergens. 5.3.1. Feladatok Vizsgálja meg az alábbi <strong>sorok</strong>at konvergencia szempontjából! 1. ∞∑ 1 (√ 2 ) n (2n + 1)! 4. ∞∑ 1 n! n n 2. ∞∑ 1 2 n 3 n+2 (n + 2)! 5. ∞∑ 1 n + 2 (n + 1) n+3 3. ∞∑ 1 (n!) 2 (2n)! 6. ∞∑ 1 n k n! , k ∈ N+ c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 18 v1.4
Page 1 and 2: VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS
Page 3 and 4: s 2k+1 = 1 → 1 s 2k = 0 → 0 } =
Page 5 and 6: ✎☞∑ ∞ ∞∑ ✍✌ M (c ·
Page 7 and 8: 1.1. A konvergencia szükséges fel
Page 9 and 10: =⇒ lim c n = 1 =⇒ lim a n ≠ 0
Page 11 and 12: 4. Pozitív tagú sorok ✎☞ ✍
Page 13 and 14: A tétel alkalmazható. ∞∑ 1 2
Page 15 and 16: A sor divergens, mivel a rendőrelv
Page 17: ∞∑ ∞∑ a n -nek q n−1 a 1
Page 21 and 22: lim n→∞ n√ an = lim n→∞
Page 23 and 24: Most viszont a hányados kritérium
Page 25 and 26: 2. ∫ n 1 f(x) dx ≤ a 1 + a 2 +
Page 27 and 28: t 1 = b 1 a 1 , t 2 = b 2 a 1 + b 2
Page 29 and 30: Házi feladat: ∞∑ x k ∞∑ Ha
Page 31 and 32: m) n) o) p) q) r) s) ∞∑ ( ) n n
Page 33 and 34: 8. Számsorozatok nagyságrendje
Page 35 and 36: ✎☞ ✍✌ T a n , b n , c n , d
Page 37 and 38: 1. megoldás: lim n→∞ cos 1 n
Page 39: ✎☞ ✍✌ D an = o(b n ) ( kis

Numerikus sorok - Index of

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?