Numerikus sorok - Index of

More documents

Recommendations

Info

$t.-l ,\l$

Vagyis ∞∑ l=1 ∞∑ n=1 1 (2 l ) α · 2l = 1 n és ∑ ∞ 1 α (2 l ) · α 2l egyidejűleg konvergens, illetve divergens. ∞∑ l=1 l=1 1 1 = 2 αl 2 −l ∞∑ ( ) lα−l 1 = 2 l=1 ∞∑ ( ) (α−1)l 1 = 2 Geometriai sort kaptunk, ( ) mely csak akkor konvergens, ha α−1 1 |q| = < 1. 2 l=1 ( ∞∑ (1 ) ) α−1 l = 2 l=1 ∞∑ l=1 q l Tehát a konvergencia csak akkor teljesül, ha α − 1 > 0, vagyis α > 1. Vigyázat! A tételben szereplő két sor összege nem azonos, tehát nem tudtuk megállapítani ∞∑ 1 a sor összegét, csak a konvergencia tényét tudtuk megállapítani α > 1 -re. 1 n α Ilyenkor a megfelelő s n részletösszeggel tudjuk közelíteni a sor összegét az esetleg előírt pontossággal (lásd hibabecslések). ✓✏ ∞∑ 1 Pl. ✒✑ n · log n=n 1 2 n Ugyanis: divergens ∞∑ 1 ∞∑ 2 l · log l=l 2 2 · 1 l 2l = l 1 l=l 1 divergens. ✓✏ ∞∑ 1 Pl. ✒✑ n · (log n=n 1 2 n) p p > 1 konvergens, egyébként divergens p > 0 esetén alkalmazható az előző tétel: ∞∑ 1 ∞∑ 2 l · (log l=l 2 2 l ) · 1 p 2l = 0 < p ≤ 1 : div.; 1 < p : konv. l p 1 l=l 1 (p ≤ 0 esete HF. Pl. minoráns kritériummal — lásd később — megmutatható.) ✓✏ ∞∑ 1 Pl. ✒✑ n · log n=n 1 2 n · log 2 log 2 n divergens c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 11 v1.4
A tétel alkalmazható. ∞∑ 1 2 l · (log l=l 2 2 l ) · (log 2 log 2 2 l ) · 2l = 1 ∞∑ 1 l · log l=l 2 l 1 ez pedig divergens 5. Pozitív tagú <strong>sorok</strong> konvergenciájával kapcsolatos elégséges kritériumok • majoráns kritérium (csak konvergencia eldöntésére) • minoráns kritérium (csak divergencia eldöntésére) • hányados kritérium • gyökkritérium • integrál kritérium Ezeket a kritériumokat kizárólag pozitív tagú <strong>sorok</strong>ra alkalmazhatjuk. Így a szóbanforgó kritériumok hasznosak lehetnek az abszolút konvergencia eldöntésére (amiből következik az eredeti — nem feltétlenül pozitív tagú — sor konvergenciája is.) 5.1. Majoráns kritérium ✎☞ ∞∑ ∞∑ ✍✌ T Ha 0 < a n ≤ c n ∀ n-re és c n konvergens =⇒ a n konvergens n=1 n=1 ✎☞ ✍✌ B A megfelelő részletösszegek sorozatára a feltétel miatt fennáll, hogy s a n ≤ s c n. ∑ Továbbá ∞ c n konvergenciája miatt s c n ≤ K =⇒ s a n korlátos és pozitív tagú a sor n=1 ∞∑ =⇒ a n konv. 1 c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 12 v1.4
Page 1 and 2: VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS
Page 3 and 4: s 2k+1 = 1 → 1 s 2k = 0 → 0 } =
Page 5 and 6: ✎☞∑ ∞ ∞∑ ✍✌ M (c ·
Page 7 and 8: 1.1. A konvergencia szükséges fel
Page 9 and 10: =⇒ lim c n = 1 =⇒ lim a n ≠ 0
Page 11: 4. Pozitív tagú sorok ✎☞ ✍
Page 15 and 16: A sor divergens, mivel a rendőrelv
Page 17 and 18: ∞∑ ∞∑ a n -nek q n−1 a 1
Page 19 and 20: (lim a n+1 a n Ha a n > 0 ∀ n, é
Page 21 and 22: lim n→∞ n√ an = lim n→∞
Page 23 and 24: Most viszont a hányados kritérium
Page 25 and 26: 2. ∫ n 1 f(x) dx ≤ a 1 + a 2 +
Page 27 and 28: t 1 = b 1 a 1 , t 2 = b 2 a 1 + b 2
Page 29 and 30: Házi feladat: ∞∑ x k ∞∑ Ha
Page 31 and 32: m) n) o) p) q) r) s) ∞∑ ( ) n n
Page 33 and 34: 8. Számsorozatok nagyságrendje
Page 35 and 36: ✎☞ ✍✌ T a n , b n , c n , d
Page 37 and 38: 1. megoldás: lim n→∞ cos 1 n
Page 39: ✎☞ ✍✌ D an = o(b n ) ( kis

Numerikus sorok - Index of

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?