Numerikus sorok - Index of

8. Számsorozatok nagyságrendje
✎☞
✍✌ D an = O(b n ) ( nagy ordó b ” n ”), ha ∃ c 1 :
|a n | ≤ c 1 |b n |, n > N (legfeljebb véges sok kivétellel)
✎☞
✍✌ D an = Ω(b n ) ( omega b ” n ”), ha b n = O(a n ).
Vagyis |b n | ≤ c 1 |a n | n > N (∃ c 1 ).
Ekkor: c 2 |b n | = 1 c 1
|b n | ≤ |a n |, vagyis most |a n | alulról becsülhető |b n | segítségével.
✎☞
✍✌ D an = Θ(b n ) ( teta b ” n ”), ha a n = O(b n ) és a n = Ω(b n ).
Az előzőből következik:
✎☞
✍✌ T a n = Θ(b n ) ⇐⇒ c 2 |b n | ≤ |a n | ≤ c 1 |b n |
✓✏
Pl.
✒✑a n = 2n 2 − n + 3
1. a n = O(n 2 ), mert 2n 2 − n + 3 ≤ 2 · n 2 , ha n ≥ 3. Persze a n = O(n 3 ) is igaz, sőt
általánosságban: a n = O(n 2+α ), α ≥ 0.
2. a n = Ω(n 2 ), mert 1 · n 2 = 2n 2 − n 2 ≤ 2n 2 − n + 3. Sőt a n = Ω(n 2−α ), α ≥ 0.
3. Tehát a n = Θ(n 2 ).
8.1. Műveletek Θ-val
✎☞
✍✌ T a n , b n , c n , d n > 0
a n = Θ(c n )
b n = Θ(d n )
}
=⇒
⎧
⎪⎨
⎪⎩
1. a n · b n = Θ(c n · d n )
2.
( )
a n cn
= Θ
b n d n
3. a n + b n = Θ(c n + d n )
Különbségre nem igaz!
Megj.: Akkor van értelme használni ezt, ha c n és d n sokkal egyszerűbb” sorozatok.
✎☞
” B ✍✌
0 < α 1 c n ≤ a n ≤ α 2 c n , mert a n = Θ(c n )
0 < β 1 d n ≤ b n ≤ β 2 d n , mert b n = Θ(d n )
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 32 v1.4