Numerikus sorok - Index of

∞∑
∞∑
a n -nek q n−1 a 1 konvergens majoránsa (geometriai sor, 0 < q < 1 ) =⇒
1
∞∑
1
a n
1
konvergens.
2. Mivel a n+1 ≥ q a n ≥ q 2 a n−1 ≥ · · · ≥ q n a 1 , ∀ n , ezért
∞∑
∞∑
a n -nek q n−1 a 1 divergens minoránsa (geometriai sor, q ≥ 1) =⇒
1
∞∑
1
a n
1
divergens.
✎☞∑
∞
M1
✍✌ a n és
1
∞∑
N 0
a n egyidejűleg konvergens ill. divergens, ezért elég, ha a T 1 feltételei
∀ n ≥ N 0 -ra teljesülnek.
(Természetesen, ha konvergensek, akkor az első sor összege a 1 + a 2 + · · · + a N0 −1 -gyel
több, mint a második sor összege.)
✎☞
M2
✍✌T 1 (1)-nél nem elég megmutatni, hogy a n+1
< 1 , q -t is kell találni.
a n
✓✏ ∞∑ 1
Pl.
✒✑
1 n
divergens, pedig
a n = 1 n , a n+1 = 1
n + 1
✓✏ ∞∑
Pl.
✒✑
1
a n+1
a n
=
1
n 2
1
(n + 1) 2
1
n 2 =
konvergens.
miatt
És most is
a n+1
a n
=
1
n + 1
1
n
= n
n + 1 < 1 .
( )
n 2
2 n
(n + 1) = < 1 . (De ∄ 0 < q < 1 )
2 n + 1
T 1 (2)-nél viszont q megtalálása nem fontos. A tétel így is kimondható.
Ekkor ugyanis:
(a n > 0) ∧
(
an+1
a n
≥ 1, ∀ n ≥ N 0
)
=⇒
∞∑
a n div.
1
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 16 v1.4