Numerikus sorok - Index of

Most viszont a hányados kritérium alkalmazása a legcélszerűbb. (A gyökkritérium alkalmazásánál
a rendőrelvre is szükségünk lenne az
n√ 2n + 1 sorozat határértékének
bizonyításához.)
lim
n → ∞
a n+1
a n
= lim
n → ∞
3 n+2 (2n + 1) 5 n
= lim
(2n + 3) 5 n+1 3n+1 n → ∞
3
5
2n + 1
2n + 3 =
= lim
n → ∞
3
5
2 + 1 n
2 + 3 n
= 3 5 < 1 =⇒ ∞
∑
an konvergens.
✓✏∞∑
Pl.
✒✑
n=1
(n + 1)! 2 n
3 2n =
∞∑
(n + 1)!
n=1
( 2
9) n
lim
n → ∞
Itt is a hányados kritériumot alkalmazzuk:
( n+1 2
(n + 2)!
a n+1
9)
= lim
( n = lim
a n n → ∞
2 n → ∞
9)
(n + 1)!
2
9
(n + 2) = ∞ > 1
=⇒
∞∑
an
divergens.
✓✏
Pl.
✒✑Abszolút vagy feltételesen konvergens-e
∞∑
(−1) n n
5 n 2 + 3 sor?
n=2
Nem abszolút konvergens, mert
|a n | =
n
5n 2 + 3 ≥
n
5n 2 + 3n = 1
2 8n
és 1 ∞∑ 1
8 n=2 n divergens, tehát ∑ ∞ |a n | divergens (a minoráns kritérium miatt).
n=2
∞∑
Viszont konvergens, mert Leibniz típusú. Ugyanis
|a n | =
n=2
n
a n
5n 2 + 3 ↘ 0, mert |a n | = n n 2
}{{}
= 1 n
1
5 + 3 → 0 · 1
5 = 0
n 2
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 22 v1.4