Numerikus sorok - Index of

Tehát s 2k monoton növő és felülről korlátos =⇒ s 2k konvergens, legyen s =
lim
k→∞ s 2k.
Megmutatjuk, hogy s 2k+1 → s szintén, és így a sor konvergens.
s 2k+1 = s 2k + c 2k+1 → s + 0 = s
✎☞
✍✌ M Az is megmutatható, hogy az s 2k+1
részsorozat monoton csökkenően tart s -hez.
0 ≤ s 2k+1 = (c 1 − c 2 ) + (c 3 − c 4 ) + · · · + (c 2k−1 − c 2k ) + c 2k+1 =
= (c 1 − c 2 ) + (c 3 − c 4 ) + · · · + c
} {{ 2k−1 − (c
} 2k − c 2k+1 )
} {{ }
s 2k−1
≥ 0
≤ s 2k−1
Hibabecslés Leibniz típusú soroknál
Tehát a Leibniz típusú soroknál a páros indexű részletösszegek s -nél kisebbek vagy
egyenlők:
s 2k ≤ s.
A páratlan indexű elemek monoton csökkenve tartanak s -hez, ezért
s ≤ s 2k+1 .
Mivel
s − s 2k ≤ s 2k+1 − s 2k = c 2k+1 és s 2k+1 − s ≤ s 2k+1 − s 2k+2 = c 2k+2 ,
ezért
|H| = |s − s n | ≤ c n+1 , ∀ n ∈ N .
•••
✓✏∞∑
Pl.
✒✑
n=1
(−1) n+1 1
3√ 2n + 1
=
∞∑
n=1
(−1) n+1 c n
A sor Leibniz típusú és így konvergens, mivel c n =
1
3√ 2n + 1
↘ 0 .
✓✏∞∑
Pl.
✒✑
n=1
(−1) n+1 1
n√ 2n + 1
=
1
n√
3
n √ n
} {{ }
↓
1
=
∞∑
n=1
a n =
∞∑
n=1
(−1) n+1 c n
1
n√ 2n + n
≤ c n < 1 → 1
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 7 v1.4