Numerikus sorok - Index of

More documents

Recommendations

Info

$t.-l ,\l$

elégséges tétel alkalmazható. (s n ) akkor és csak akkor konvergens, ha ∀ ε > 0 -hoz ∃ M(ε) , hogy n, m > M(ε) esetén |s m − s n | < ε. Legyen m > n és m = n + k ! Mivel Ezért s n = a 1 + a 2 + · · · + a n , s m = s n+k = a 1 + a 2 + · · · + a n + a n+1 + a n+2 + · · · + a n+k . ha n > M(ε) és k ∈ N + tetszőleges. |s m − s n | = |a n+1 + a n+2 + · · · + a n+k | < ε , ✓✏∞∑ Pl. ✒✑ (−1) n+1 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · n=1 konvergens Ugyanis |s n+k − s n | = |a n+1 + a n+2 + · · · + a n+k | = 1 ∣n + 1 − 1 n + 2 + 1 n + 3 − · · · + (−1)k+1 n + k ∣ = ⎧ ( 1 n + 1 − 1 ) ( 1 + n + 2 n + 3 − 1 ) ( 1 + · · · + n + 4 n + k − 1 − 1 ) = n + k } {{ } } {{ } } {{ } >0 >0 >0 = 1 ( 1 n + 1 − n + 2 − 1 ) ( ) 1 − · · · − , ha k páros n + 3 n + k } {{ } } {{ } >0 >0 ⎪⎨ = ( 1 n + 1 − 1 ) n + 2 } {{ } >0 ⎪⎩ Vagyis = 1 n + 1 − ( 1 n + 3 − 1 ) ( ) 1 + · · · + n + 4 n + k − 2 − 1 n + k − 1 } {{ } } {{ } ( 1 + >0 >0 + 1 n + k = n + 2 − 1 ) ( 1 − · · · − n + 3 n + k − 1 − 1 ) , ha k páratlan n + k } {{ } } {{ } >0 >0 |s n+k − s n | < 1 n + 1 < ε, ha n > 1 ε − 1 =⇒ N(ε) ≥ [ 1 ε − 1 ] Későbbiekben könnyen ellenőrizhetjük, hogy ez egy úgynevezett Leibniz sor. c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 5 v1.4
1.1. A konvergencia szükséges feltétele ✎☞ ✍✌ T ( ∑ ∞ ) a k konvergens k=1 =⇒ ( ) lim a k = 0 k→∞ ✎☞ ✍✌ B A Cauchy kritériumból ( k = 1 választással): |s n+1 − s n | = |a n+1 | < ε, ha n > N(ε) =⇒ a n → 0 Vagy (egy másik bizonyítás) s n = s n−1 + a n =⇒ a n = s n − s n−1 → s − s = 0 ✎☞ ✍✌ M A feltétel nem elégséges. Például a ∞∑ k=1 1 k sor a feltételt teljesíti, mégis divergens. 2. Váltakozó előjelű (alternáló) <strong>sorok</strong> c 1 − c 2 + c 3 − · · · + (−1) n+1 c n + · · · = ∞∑ (−1) n+1 c n , c n > 0 Leibniz kritérium: ✎☞ ✍✌ T Ha az alternáló sor tagjainak abszolút értékeiből képzett sorozat (fent (c n ) ) monoton fogyóan tart 0 -hoz ( jelben c n ↘ 0) , akkor a sor konvergens. Az ilyen alternáló sor neve: Leibniz sor. n=1 ✎☞ ✍✌ B Belátjuk, hogy s2k ↗ és felülről korlátos: Másrészt s 2k+2 = s 2k + (c 2k+1 − c } {{ 2k+2 ) ≥ s } 2k =⇒ s 2k ↗ ≥0 0 ≤ s } {{ 2k+2 = c } 1 − (c 2 − c 3 ) − (c } {{ } 4 − c 5 ) − · · · − (c } {{ } 2k+2 ) ≤ c } {{ } 1 az előzőből látható ≥0 ≥0 ≥0 c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 6 v1.4
Page 1 and 2: VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS
Page 3 and 4: s 2k+1 = 1 → 1 s 2k = 0 → 0 } =
Page 5: ✎☞∑ ∞ ∞∑ ✍✌ M (c ·
Page 9 and 10: =⇒ lim c n = 1 =⇒ lim a n ≠ 0
Page 11 and 12: 4. Pozitív tagú sorok ✎☞ ✍
Page 13 and 14: A tétel alkalmazható. ∞∑ 1 2
Page 15 and 16: A sor divergens, mivel a rendőrelv
Page 17 and 18: ∞∑ ∞∑ a n -nek q n−1 a 1
Page 19 and 20: (lim a n+1 a n Ha a n > 0 ∀ n, é
Page 21 and 22: lim n→∞ n√ an = lim n→∞
Page 23 and 24: Most viszont a hányados kritérium
Page 25 and 26: 2. ∫ n 1 f(x) dx ≤ a 1 + a 2 +
Page 27 and 28: t 1 = b 1 a 1 , t 2 = b 2 a 1 + b 2
Page 29 and 30: Házi feladat: ∞∑ x k ∞∑ Ha
Page 31 and 32: m) n) o) p) q) r) s) ∞∑ ( ) n n
Page 33 and 34: 8. Számsorozatok nagyságrendje
Page 35 and 36: ✎☞ ✍✌ T a n , b n , c n , d
Page 37 and 38: 1. megoldás: lim n→∞ cos 1 n
Page 39: ✎☞ ✍✌ D an = o(b n ) ( kis

Numerikus sorok - Index of

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?