Numerikus sorok - Index of

More documents

Recommendations

Info

$t.-l ,\l$

Tehát s 2k monoton növő és felülről korlátos =⇒ s 2k konvergens, legyen s = lim k→∞ s 2k. Megmutatjuk, hogy s 2k+1 → s szintén, és így a sor konvergens. s 2k+1 = s 2k + c 2k+1 → s + 0 = s ✎☞ ✍✌ M Az is megmutatható, hogy az s 2k+1 részsorozat monoton csökkenően tart s -hez. 0 ≤ s 2k+1 = (c 1 − c 2 ) + (c 3 − c 4 ) + · · · + (c 2k−1 − c 2k ) + c 2k+1 = = (c 1 − c 2 ) + (c 3 − c 4 ) + · · · + c } {{ 2k−1 − (c } 2k − c 2k+1 ) } {{ } s 2k−1 ≥ 0 ≤ s 2k−1 Hibabecslés Leibniz típusú soroknál Tehát a Leibniz típusú soroknál a páros indexű részletösszegek s -nél kisebbek vagy egyenlők: s 2k ≤ s. A páratlan indexű elemek monoton csökkenve tartanak s -hez, ezért s ≤ s 2k+1 . Mivel s − s 2k ≤ s 2k+1 − s 2k = c 2k+1 és s 2k+1 − s ≤ s 2k+1 − s 2k+2 = c 2k+2 , ezért |H| = |s − s n | ≤ c n+1 , ∀ n ∈ N . ••• ✓✏∞∑ Pl. ✒✑ n=1 (−1) n+1 1 3√ 2n + 1 = ∞∑ n=1 (−1) n+1 c n A sor Leibniz típusú és így konvergens, mivel c n = 1 3√ 2n + 1 ↘ 0 . ✓✏∞∑ Pl. ✒✑ n=1 (−1) n+1 1 n√ 2n + 1 = 1 n√ 3 n √ n } {{ } ↓ 1 = ∞∑ n=1 a n = ∞∑ n=1 (−1) n+1 c n 1 n√ 2n + n ≤ c n < 1 → 1 c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 7 v1.4
=⇒ lim c n = 1 =⇒ lim a n ≠ 0 , tehát nem teljesül a konvergencia szükséges n → ∞ n → ∞ feltétele, így a sor divergens. ✓✏∞∑ Pl. ✒✑ n=1 (−1) n+1 n + 1 n 2 + 2 = c n = ∞∑ n=1 (−1) n+1 c n 1 n + 1 n 2 1 + 2 n 2 → 0 A monoton csökkenés most nem triviálisan igaz, hiszen n növelésével a számláló és a nevező is nő. Várható, hogy a (c n ) sorozat monoton csökkenő, mert a nevező ”gyorsabban nő”. De ezt ilyenkor be kell bizonyítanunk! Tehát igaz-e, hogy (n + 1) + 1 (n + 1) 2 + 2 (n + 2) (n 2 + 2) c n+1 ? ≤ cn 0 ? ≤ n + 1 n 2 + 2 ? ≤ (n + 1) (n 2 + 2n + 3) Tehát a sor Leibniz típusú és így konvergens. ? ≤ n 2 + 3n − 1 Ez pedig igaz, minden n -re . 2.1. Feladatok a váltakozó előjelű sorokhoz Vizsgálja meg konvergencia szempontjából az alábbi sorokat! ∞∑ cos kπ 1. lg k 2. 3. 4. 2 ∞∑ 1 ∞∑ 2 2 (−1) n n√ n (−1) k−1 2k k 2 − 1 ∞∑ ( n (−1) n n + 1 ) n c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 8 v1.4
Page 1 and 2: VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS
Page 3 and 4: s 2k+1 = 1 → 1 s 2k = 0 → 0 } =
Page 5 and 6: ✎☞∑ ∞ ∞∑ ✍✌ M (c ·
Page 7: 1.1. A konvergencia szükséges fel
Page 11 and 12: 4. Pozitív tagú sorok ✎☞ ✍
Page 13 and 14: A tétel alkalmazható. ∞∑ 1 2
Page 15 and 16: A sor divergens, mivel a rendőrelv
Page 17 and 18: ∞∑ ∞∑ a n -nek q n−1 a 1
Page 19 and 20: (lim a n+1 a n Ha a n > 0 ∀ n, é
Page 21 and 22: lim n→∞ n√ an = lim n→∞
Page 23 and 24: Most viszont a hányados kritérium
Page 25 and 26: 2. ∫ n 1 f(x) dx ≤ a 1 + a 2 +
Page 27 and 28: t 1 = b 1 a 1 , t 2 = b 2 a 1 + b 2
Page 29 and 30: Házi feladat: ∞∑ x k ∞∑ Ha
Page 31 and 32: m) n) o) p) q) r) s) ∞∑ ( ) n n
Page 33 and 34: 8. Számsorozatok nagyságrendje
Page 35 and 36: ✎☞ ✍✌ T a n , b n , c n , d
Page 37 and 38: 1. megoldás: lim n→∞ cos 1 n
Page 39: ✎☞ ✍✌ D an = o(b n ) ( kis

Numerikus sorok - Index of

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?