Numerikus sorok - Index of

1. megoldás:
lim
n→∞
cos 1 n − 1
An α = 1 =⇒ lim
n→∞
cos 1 n − 1
n α = A ≠ 0
u := 1 n −→n ↓
∞
lim
u→+0
}
α = 0-ra A = 0 lenne
α > 0-ra 0 → 0 = A lenne =⇒ α < 0
∞
0
0
0
cos u − 1
} u{{ −α
}
L’H
= lim
u→+0
− sin u
= lim
−αu−α−1 u→+0
sin u
u · 1
−α−1 α = 1 α = A
ha −α − 1 = 1 =⇒ α = −2, A = − 1 2 .
Tehát cos 1 n − 1 ∼ −1 2
2. megoldás:
1
n 2
cos x − 1 = −2 sin 2 x cos 1
2 azonosság segítségével: n − 1
=
( ) An α 2 1
An α = −2 → A = − 1 2n
2 , α = −2
−2 sin 2 1
2n
An α
→ 1, ha
Feladat:
Határozza meg A és α értékét úgy, hogy sin 1 n − 1 n ∼ Anα fennálljon!
✎☞
✍✌ T a n > 0, b n > 0
a n ∼ b n =⇒
∞∑
an és
∞∑
bn egyidejűleg konvergens, illetve divergens
(Jelben:
∞∑
an ∼
∞∑
bn )
✎☞
✍✌ B an ∼ b n =⇒ a n
→ 1 =⇒ 1 − ε < a n
< 1 + ε. Legyen ε < 1.
b n b n
Tehát c 1 b n < a n < c 2 b n (c 1 = 1 − ε > 0, c 2 = 1 + ε)
Ha
Ha
∞∑
an konvergens, akkor b n < 1 c 1
a n miatt
∞∑
an divergens, akkor 1 c 2
a n < b n miatt
∞∑
bn is konvergens (majoráns kritérium)
∞∑
bn is divergens (minoráns kritérium)
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 36 v1.4