Numerikus sorok - Index of

✎☞
✍✌ T Geometriai sor
1 + q + q 2 + · · · =
⎧
1
∞∑
⎪⎨ , ha |q| < 1
1 − q
q k−1 = ∞ , ha q ≥ 1
⎪⎩
divergens , ha q ≤ −1
k=1
✎☞ ∑
✍✌ B sn = n k=1
q k−1 = 1 + q + q 2 + · · · + q n−1
Ha q = 1 :
s n = n , ezért lim s n = ∞ .
n→∞
Ha q ≠ 1 :
s n = qn − 1
q − 1 .
Mivel q n → 0 , ha |q| < 1 , ezért
lim n =
−1
n→∞ q − 1 = 1 , ha |q| < 1.
1 − q
Mivel q n → ∞ , ha q > 1 =⇒ s n → ∞ , ha q > 1.
Ha q = −1 :
q n -nek két torlódási pontja van, mégpedig t 1 = 1 , t 2 = −1 .
=⇒ s n -nek is 2 torlódási pontja van: 0 és 1, tehát divergens.
Ha q < −1 :
q n -nek két torlódási pontja van, mégpedig t 1 = −∞ , t 2 = ∞ .
=⇒ s n -nek is 2 torlódási pontja van: −∞ és ∞, tehát divergens.
✓✏∞∑
Pl.
✒✑
k=3
q k = q 3 + q 4 + q 5 + · · · = q3
1 − q
, ha |q| < 1 .
A részletösszegek a tételben szereplő részletösszegek q 3 -szeresei, így a határérték (a sor
összege) is q 3 -nel szorzódik.
✓✏∞∑
Pl.
✒✑ a q k =
k=0
k=1
∞∑
a q k−1 =
a
1 − q
, ha |q| < 1
Most a részletösszegek a tételben szereplő részletösszegek a -szorosai, így a határérték
is ( a -szoros lesz.
)
első tag
A képletet úgy érdemes megjegyezni, hogy s =
1 − kvóciens .
✎☞
✍✌ M Ha a sorban véges sok tagot elhagyunk vagy megváltoztatunk, akkor a konvergencia
ténye nem változik, konvergens sorból konvergens sort, divergens sorból divergens sort
kapunk. A sorösszeg értéke természetesen megváltozik.
c○ Kónya I. – Fritz Jné – Győri S. 3 v1.4