Propriet`a ottiche di singole nanoparticelle ... - Centri di Ricerca

In un mezzo omogeneo, il campo elettrico −→ E ed il campo magnetico −→ H
soddisfano entrambe le relazioni seguenti:
∇ −→ V = 0 (3.1)
∇ 2−→ V + k 2−→ V = 0 (3.2)
dove k è il vettore d’onda nel mezzo e −→ V sta per −→ E o −→ H .
Il primo passo è trovare la soluzione delle Maxwell che descrivono il campo
originato dall’onda piana monocromatica incidente su una superficie sferica,
attraverso la quale le proprietà del mezzo cambiano. Si introduce un opportuno
sistema di coordinate polari sferiche, in modo da rappresentare il campo
come somma di due ′′ sottocampi ′′ : uno ha un vettore elettrico con componente
radiale nulla, mentre l’altro ha un vettore magnetico con la medesima
caratteristica. Attraverso uno sviluppo multipolare del campo elettromagnetico
è possibile risolvere le equazioni di Maxwell in coordinate polari sferiche,
con opportune condizioni al contorno dettate dalla geometria del problema.
Dalla teoria di Mie si deducono alcuni risultati generali relativi alla quantità
totale di energia scatterata ed assorbita da un ostacolo di forma arbitraria.
Per poter ricavare tali risultati è tuttavia necessario partire dall’analisi del
caso più semplice di una nanoparticella metallica sferica di costante dielettrica
ε, inserita in un mezzo di costante dielettrica εm e investita da un’onda
che si propaghi lungo l’asse z e polarizzata linearmente lungo x. La soluzione
di Mie descrive l’onda diffusa dalla particella metallica come una sovrapposizione
lineare di onde sferiche, ciascuna generata da un multipolo elettrico
di ampiezza al e da uno magnetico di ampiezza bl, dati da:
al = MΨl(Mχ)Ψ ′ l (χ) − Ψ′ l (Mχ)Ψl(χ)
MΨl(Mχ)η ′ l (χ) − Ψ′ l (Mχ)ηl(χ)
bl = Ψl(Mχ)Ψ ′ l (χ) − MΨ′ l (Mχ)Ψl(χ)
Ψl(Mχ)η ′ l (χ) − MΨ′ l (Mχ)ηl(χ)
(3.3)
(3.4)
dove:
M = (ε/εm) 1/2 ;
Ψl(χ) = χJl(χ) è una funzione di Bessel-Riccati (Jl è una funzione di Bessel
di ordine l);
ηl(χ) = χH (1)
l (χ), con H (1)
l funzione di Hankel di ordine l;
χ = 1
2kD = (πnm/λ)D, con k vettore d’onda del campo incidente e nm l’indice
della matrice.
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