Propriet`a ottiche di singole nanoparticelle ... - Centri di Ricerca

di separazione delle variabili in un sistema di coordinate sferoidali (ξ, η, φ),
riconducibile ad un sistema cartesiano per mezzo delle seguenti uguaglianze:
x = d
2 (ξ2 ± 1) 1/2 (1 − η 2 ) 1/2 cos φ
y = d
2 (ξ2 ± 1) 1/2 (1 − η 2 ) 1/2 sin φ
z = d
2 ξη
Siano E (i) , H (i) , E (i)
τ , H (i)
τ il vettore campo elettrico, campo magnetico, e le
loro componenti tangenti alla superficie dell’ellissoide.
L’esponente (i) può assumere i valori 0, 1 o 2 che corrispondono al campo
incidente, al campo diffuso e al campo interno alla particella rispettivamente.
Partendo da queste definizioni, le condizioni del problema elettromagnetico
per uno sferoide omogeneo saranno:
△E (1) + k 2 1E (1) = 0 (equazione di Helmholtz)
△E (2) + k 2 2E (2) = 0 (equazione di Helmholtz)
divE (1) = 0; divE (2) = 0
E (0)
η + E (1)
η = E (2)
η ; E (0)
φ + E(1)
φ = E(2)
φ
H (0)
η + H (1)
η = H (2)
η ; H (0)
φ
limr→∞r
+ H(1)
φ
(1) ∂E (1)
− ik1E = 0
∂r
= H(2)
φ
dove k = (εµ) 1/2 k0 è il numero d’onda del mezzo con permittività complessa
ε e permeabilità magnetica µ, mentre gli indici 1 e 2 corrispondono all’interno
ed all’esterno della particella. La soluzione viene divisa in due termini:
E (i) = E (i)
1 + E (i)
2 ; H (i) = H (i)
1 + H (i)
2
Il primo termine di ciascuna delle due somme non dipende dall’angolo azimutale
φ, mentre la media del secondo termine in funzione di φ è nulla. Il
problema si può dunque scomporre in due parti risolubili in maniera esatta.
Come nel caso sferico, il campo elettrico e magnetico si possono esprimere
come somma di onde la cui ampiezza dipende dalle condizioni al contorno
poste in precedenza.
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