Esercizi svolti di analisi reale e complessa - Dipartimento di ...
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xy z ∈ [0, 1] z C<br />
C(z) ≡ {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 √<br />
≤ z} <br />
z πz z ∈ [1, 4] C(z) <br />
D R2 π<br />
<br />
4<br />
(C) =<br />
0<br />
(C(z)) dz = 7<br />
π ;<br />
2<br />
F = 1 C <br />
C<br />
F xy <br />
C z = 4 <br />
F D × 1 A<br />
C A <br />
3π <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
π 2<br />
∂C ∩{z = 4} π ∂C ∩{x2 +y2 = 1} <br />
6π <br />
1 3 ∂C ∩{z = x2 +y 2 } <br />
(x, y) → (x, y, x2 +y2 ) <br />
(x, y) ∈ D 1 + |∇f(x, y)| 2dxdy <br />
<br />
<br />
D<br />
1 + |∇f(x, y)| 2 dxdy =<br />
=<br />
<br />
<br />
D<br />
1 + 4x 2 + 4y 2 dxdy =<br />
[0,1]×[0,2π]<br />
7π + π<br />
6 (5√ 5 − 1) <br />
∂E = A ∪ B <br />
A = ∂E ∩ {x 2 + y 2 + z 2 = 1}<br />
r 1 + 4r 2 drdθ = π<br />
6 (5√ 5 − 1) .<br />
B = ∂E ∩ {z = x 2 + y 2 } .<br />
<br />
A = {(cos θ sin ϕɛ, sin θ sin ϕɛ, cos ϕɛ) : θ ∈ (0, 2π), ϕɛ ∈ (0, π<br />
) }<br />
4<br />
B = {(z cos θ, z sin θ, z) : θ ∈ (0, 2π), z ∈ (0, 1<br />
√ ) } .<br />
2