Esercizi svolti di analisi reale e complessa - Dipartimento di ...
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|f(x) − f(y)| ≤<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1 1<br />
<br />
− + sin<br />
2 − |x| 2 − |y|<br />
≤ |x − y| 2 + n|x − y| 2 = √ n + 1 |x − y| .<br />
<br />
L = √ n + 1 .<br />
<br />
n<br />
i=1<br />
Ω = B1(x0)<br />
x0 = (2, . . . , 2)<br />
x ∈ Ω <br />
<br />
αn := 2 −<br />
<br />
n = 1, 2 αn, βn > 0<br />
2 √ n − 1 ≤ |x| ≤ 2 √ n + 1<br />
xi<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
−<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
sin<br />
n<br />
<br />
2 √ n + 1 ≤ 2 − |x| 1<br />
<br />
2 ≤ 2 − 2 √ n − 1 =: βn .<br />
i=1<br />
yi<br />
2<br />
<br />
<br />
≤<br />
<br />
n = 3, 4, 5, 6 αn < 0 < βn f <br />
Ω n = 4 <br />
x0<br />
n ≥ 7 αn, βn < 0<br />
n = 3, 4, 5, 6 <br />
α 2 n ≤ (2 − |x| 1<br />
2 )(2 − |y| 1<br />
2 ) ≤ β 2 n .<br />
In = (2 √ n−1, 2 √ n+1) <br />
<br />
s, t ∈ In <br />
| √ s − √ t| ≤<br />
=<br />
<br />
sup<br />
ξ∈In<br />
1<br />
2 √ <br />
|s − t| =<br />
ξ<br />
1<br />
2(2 √ |s − t| .<br />
n − 1)