Esercizi svolti di analisi reale e complessa - Dipartimento di ...

0 ≤ α < 2π
2π
ω =
γα
=
=
=
=
=
=
=
0
(α 3 sin 3 θ − α 3 cos 2 θ sin θ)
α 4
+ (α3 cos3 θ − α3 sin 2 θ cos θ)
α4 3 3 3 2 (α sin θ − α cos θ sin θ)
2π
0
α 4
+ (α3 cos 3 θ − α 3 sin 2 θ cos θ)
2π
0
2π
0
2π
0
2π
0
2π
0
α 4
(cos 4 θ − sin 4 θ) dθ =
d(α cos θ) +
d(α sin θ) =
(cos 2 θ cos 2 θ − sin 2 θ sin 2 θ) dθ =
(−α sin θ) +
(α cos θ) dθ =
[cos 2 θ cos 2 θ − (1 − cos 2 θ) sin 2 θ] dθ =
[cos 2 θ cos 2 θ − sin 2 θ + cos 2 θ sin 2 θ] dθ =
[cos 2 θ − sin 2 θ] dθ =
2π
cos 2θ dθ =
0
= 1
[sin 2θ]2π 0 2 =
= 0 .
γ
R
γ 0 ∈ R
α
R Bα(0) ⊂ R
∆ = R \ Bα(0) ⊂ R 2 \ {0} ,
∂∆
ω =
∂∆ = γ ∪ ∂Bα(0) = γ ∪ γα .
∆
[∂yA(x, y) − ∂xB(x, y)] dx dy ;