tesi_AntonioLorenzoM.. - LabMec

Università della Calabria
Facoltà di Ingegneria
Laboratorio di Meccanica
Computazionale
Tesi di Laurea Magistrale
in Ingegneria Civile
Analisi di solidi elastici 3D mediante
elementi finiti ad alta continuità.
Formulazione del modello numerico ed
implementazione nel codice ABAQUS R○
Relatore
Ing. Antonio
BILOTTA
Candidato
Antonio Lorenzo
MENDICINO
Matr. 94710
Anno Accademico 2006/2007

Alla mia mamma Rosina,
a mia sorella Maria e mio cognato Maurizio,
al mio papà Alfredo,
e a mio zio Cesare,
fondamenta di questi miei
anni di studi.
1

Indice
Premessa 4
1 Introduzione 5
1.1 L’elemento finito HC3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Utilizzo del codice ABAQUS R○ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Contenuti della tesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Notazione utilizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Modellazione FEM di solidi 3D 8
2.1 Modello di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.3 Formulazione del problema elastico . . . . . . . . . . . 12
2.2 Tecniche di discretizzazione FEM . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Metodi agli elementi finiti . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 Formulazione variazionale compatibile standard . . . . 14
2.2.3 Matrice delle Masse locale . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.4 Contributo locale al termine noto dovuto ai carichi
distribuiti definiti sul contorno . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.5 Matrice di Rigidezza locale . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.6 Tecnica d’assemblaggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.7 Discretizzazione FEM di un solido . . . . . . . . . . . . 20
3 Interpolazione spline 22
3.1 Approssimazione di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Funzioni Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Spline nel Computer Aided Geometric Design . . . . . . . . . 27
3.4 Vantaggi dell’interpolazione spline per un metodo variazionale 33
3.5 Interpolazione HC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2

4 Formulazione dell’elemento HC3 39
4.1 Interpolazione High-Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Approccio isoparametrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3 Matrici dell’elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Utilizzo del codice ABAQUS R○ 47
5.1 Elementi solidi 3D di ABAQUS R○ . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2 ABAQUS R○ User-defined elements . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6 Introduzione alla sperimentazione numerica 53
6.1 Implementazione HC3 in ABAQUS . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2 Test in campo dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.1 Formulazione teoretica di una soluzione esatta tridimensionale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7 Risultati Numerici 63
7.1 Test 1: Analisi statica di una mensola tozza . . . . . . . . . . 63
7.2 Test 2: Analisi statica di una trave tozza appoggiata . . . . . 69
7.3 Test 3.a: Calcolo delle frequenze naturali di una lastra apoggiata 75
7.4 Test 3.b: Calcolo delle frequenze naturali di una lastra apoggiata 81
8 Conclusioni 87
Bibliografia 88
3

Premessa
Nella meccanica computazionale con il termine elementi finiti ad alte prestazioni
si intendonono modelli discreti in grado di fornire risultati accurati a costi
computazionali ridotti. Nel presente lavoro si descrive la formulazione e l’implementazione
un elemento finito per l’analis di solidi 3D, denominato HC3,
che generalizza l’elemento finito ad alta continuità HC (high continuity),
già presentato in [1] per problemi elastici 2D. La caratteristica principale
di una tale tecnica di interpolazione, che può essere considerata come una
generalizzazione dell’interpolazione di Bézier, consiste nella sua capacità di
riprodurre campi di spostamento di classe di regolarità C 1 con un costo computazionale
equivalente ad un’interpolazione C 0 , cioè, praticamente con una
singola variabile per ogni elemento. L’efficienza computazionale che ne deriva
è stata verificata implementando l’elemento finito HC3 all’interno del codice
agli elementi finiti ABAQUS R○ , sfruttando le sue caratteristiche di codice
aperto. In tal modo è stato possibile effettuare un’estesa sperimentazione
numerica comfrontando l’elemento HC3 con altri tipi di elementi finiti.
4

Capitolo 1
Introduzione
Negli ultimi anni una considerevole parte della letteratura sugli elementi finiti
è stata diretta sulla formulazione dei così detti high performance (HP) elements,
elementi ad alte prestazioni. Questo attributo discende dalla loro
capacità di ottenere risultati accurati con costi computazionali bassi. L’interesse
verso tali tematiche è evidente viso l’utilizzo ormai esteso di strumenti
automatici per il calcolo ingegneristico e scientifico.
1.1 L’elemento finito HC3
Il lavoro qui presentato riguarda la formulazione di un elemento finito, denominato
HC3, per l’analisi lineare elastica di solidi tridimensionali. L’elemento
è particolarmente adatto per l’analisi di problemi a larga scala e discretizzabili
con mesh regolari. In tali situazioni l’elemento HC3 proposto
è realmente in grado di fornire risultati accurati a costi computazionali contenuti.
L’idea alla base della formulazione è stata già proposta e sviluppata
per problemi 2D da Aristodemo in [1]. Analogamente a quanto già proposto
in [1], la presente formulazione si basa su una interpolazione FEM del campo
degli spostamenti che ricorre ad una particolare interpolazione di B-Spline
capace di riprodurre spostamenti quadratici con praticamente un parametro
per ogni elemento, al riguardo si veda anche [13]. Ciò è possibile poichè
la rappresentazione del campo quadratico all’interno dell’elemento utilizza il
nodo dell’elemento cui l’interpolazionioe si riferisce ed anche i nodi degli elementi
adiacenti. Realizzando così un notevole risparmio di parametri discreti
richiesti. Come verrà mostrato nelle sezioni successive l’interpolazione HC3
diventa molto conveniente nei problemi tridimensionali per i quali è tipica la
crescita molto rapida dei gradi di libertà coinvolti.
5

1.2 Utilizzo del codice ABAQUS R○
ABAQUS R○ è una suite di programmi di simulazione ingegneristica che consente
di risolvere problematiche FEM in ambito statico, dinamico, termico
e per l’analisi del transitorio dinamico. Tale codice d’analisi si basa su una
vasta libreria di elementi finiti, mono-, bi- e tri-dimensionali, con i quali è
possibile descrivere dal punto di vista geometrico e meccanico qualsiasi tipo
di solido. Le possibilità di analisi, da articolare sulla base di step di carico
assegnati dall’utente, sono veramente molto ampie e comprendono l’analisi
standard tensioni-spostamenti, diversi tipi di analisi dinamica, analisi di
buckling e problemi accoppiati.
Accanto alle numerosissime possibilità di modellazione ed analisi già offerte
dal codice, è anche possibile implementare elementi finiti, modelli costitutivi
e modalità di analisi definiti dall’utente. In tal modo, avvantaggiandosi
di una struttura di pre-processing, calcolo e post-processing ampiamente collaudata
e con un bacino di utenza molto ampio, è possibile verificare ed utilizzare
nuove soluzioni definite dall’utente. A tal fine occorre implementare
la propria soluzione seguendo un protollo predefinito di chiamate a funzioni.
Il linguaggio utilizzato non è di tipo proprietario ma è possibile utilizzare sia
il linguaggio FORTRAN e sia il linguaggio C++. Pertanto l’elemento HC3
è stato implementato all’interno del codice ABAQUS R○ rendendo possibile,
all’interno di un’ambiente software molto evoluto, il confronto numerico con
altri elementi finiti utilizzati per l’analisi di solidi 3D.
1.3 Contenuti della tesi
Il presente lavoro è organizzato come segue. Nel capitolo §2 viene introdotto
il modello di Cauchy e la notazione di base del metodo agli elementi
finiti approccio compatibile standard nel contesto dell’elasticità lineare 3D.
Nel capitolo §3 viene presentato il modello di discretizzazione HC come un
caso particolare dell’interpolazione spline. Nel capitolo §4 viene introdotta
l’interpolazione ad alta continuità nel funzionale dell’energia potenziale allo
scopo di definire la matrice di rigidezza e il vettore dei carichi locale, e nell’espressione
dell’energia cinetica allo scopo di definire la matrice delle masse.
Nel capitolo §5 sono dati alcuni cenni sullo strumento software utilizzato
ABAQUS. Nel capitolo §6 è fornita un’introduzione alla sperimentazione numerica
condotta. Nel capitolo §7 sono riportati i test numerici effettuati e
sono confrontati con risultati numerici prodotti da altri elementi finiti predefiniti
del codice ABAQUS. In ultimo alcune note conclusive sono presentate
nel capitolo §8.
6

1.4 Notazione utilizzata
Per distinguerle dalle quantità scalari, le grandezze costituite da più componenti,
vettori e matrici, saranno rappresentate in grassetto. Le loro componenti
saranno indicate con indici. Ad esempio,
mij (i, j = 1..3)
denota le 9 componenti della matrice m di dimensioni [3x3]. Poichè le
grandezze che intervengono nella descrizione del modello sono tipicamente
riferite allo spazio tridimensionale, gli indici varieranno di regola nel campo
1..3. Alcune convenzioni di scrittura saranno utilizzate per rendere le
formule più compatte. Le derivate parziali saranno rappresentate con una
virgola seguita dall’indice che denota la variabile rispetto a cui si deriva. Ad
esempio, la derivata parziale della funzione f(xj) rispetto alla variabile x1
sarà indicata nel modo seguente
f,1 = ∂f
Si adotterà inoltre la convenzione di indicare la somma tra componenti ripetendo
l’indice su cui va eseguita la somma. Nel seguito si riportano alcuni
esempi:
∂x1
vj,j = v1,1 + v2,2 + v3,3
ajkvk = aj1v1 + aj2v2 + aj3v3
aijbij = a11b11 + a12b12 + .. + a33b33
7

Capitolo 2
Modellazione FEM di solidi 3D
La modellazione FEM delle strutture e, in generale, dei solidi è uno strumento
che occupa una posizione centrale nel bagaglio culturale dell’ingegnere.
Seguendo un approccio ormai consolidato, i modelli FEM vengono generati
a partire da un modello meccanico ben definito introducendo, con una tecnica
di interpolazione alla Galerkin, delle opportune rappresentazioni discrete
delle quantità incognite.
Nel caso di solidi standard la modellazione di base viene effettuta utilizzando
la Meccanica dei solidi, termine con il quale si intende lo studio dello
stato di deformazione e di tensione di un corpo deformabile, in relazione con
le azioni ad esso applicate [8]. L’esperienza dimostra che relazioni determinate
esistono in ogni tipo particolare di materiale costituente il solido e
dipendono da sue particolari proprietà. I modelli materiali presi in considerazione
sono quello elastico, plastico, viscoso, etc., ma, tipicamente, queste
proprietà si suppongono presenti una alla volta o al più accoppiate. Ovviamente
ciò è vero per i solidi ideali, in genere nei solidi reali tali proprietà si
trovano accomunate.
Un’altra ipotesi fondamentale è l’idea di solido continuo necessaria per istituire
certe relazioni fondamentali in forma differenziale. Tale ipotesi equivale
a condurre l’analisi meccanica a livello macroscopico anzichè al livello
strutturale, atomico o subatomico.
Infine un altro aspetto che caratterizza l’approccio seguito in Meccanica
dei solidi è l’adozione di una descrizione matematica del problema sulla
base di enti matematici, i tensori 1 della tensione e della deformazione, i
1 Un tensore è un’applicazione lineare L che associa ad un vettore, un altro vettore:
u = Lv, u ∈ V1, v ∈ V2
essendo V1 e V2 due qualsiasi spazi vettoriali, anche di differenti dimensioni.
8

quali pur avendo un carattere meno intuitivo dei vettori, sono più adatti alla
formulazione delle relazioni in gioco.
Nel seguito dopo avere introdotto il modello di continuo più utilizzato
nella descrizione dei solidi, il modello di Cauchy, si descriverà una delle tecniche
di interpolazione FEM ovvero la discretizzazione con interpolazione del
campo degli spostamenti.
2.1 Modello di Cauchy
2.1.1 Cinematica
Un continuo è un insieme di punti materiali (sistema materiale) che si identificano
con i punti di una porzione di spazio continuo (un sottoinsieme compatto
di R 3 ) occupata dal sistema in un determinato istante. Data una configurazione
ad un istante iniziale t0, nella quale la posizione del generico punto è
rappresentata da una terna (x1, x2, x3), la posizione dello stesso punto nella
configurazione ad un istante generico t successivo a quello iniziale è data da:
yk = yk(x1, x2, x3, t), k = 1, 2, 3
Le yk, k = 1, 2, 3 non possono essere funzioni generiche, affinchè la cinematica
del sistema preveda che tutti i punti materiali del continuo, con posizione
x1, x2, x3 all’istante iniziale t0, vadano ad occupare una nuova porzione di
spazio continuo all’istante generico t > t0, secondo una trasformazione (deformazione
2 o spostamento rigido) che sia continua, e tale da garantire l’assenza
di distacchi e compenetrazioni. A tal proposito le yk, k = 1, 2, 3 saranno
funzioni biunivoche, le quali cioè comportano che ad ogni punto della configurazione
deformata corrisponde uno e un solo punto della configurazione
indeformata e viceversa, e continue. Per garantire la condizione di funzioni
biunivoche continue sarà sufficiente scegliere funzioni continue e iniettive 3 .
2 La deformazione per un sistema continuo è il cambiamento di posizione relativa tra i
suoi punti materiali nel passaggio da uno stato iniziale ad uno stato attuale.
3 A tal proposito si richiama che:
• Si definisce funzione una relazione che associa ad ogni elemento appartenente ad
un insieme A detto dominio, un solo elemento appartenente all’insieme d’arrivo B:
f : A → Bt.c.∀a ∈ A∃!b ∈ Bt.c.f(a) = b
• Si definisce funzione continua una funzione f : A → B t.c.
∀a0 ∈ A, lim a→a +
0
9
f(a) = lim −
a→a f(a)
0

In genere il corpo non è libero nello spazio, ma su una porzione della
superficie che delimita il corpo sono assegnati dei vincoli che prescrivono il
valore dello spostamento attraverso equazioni delle forma:
u = ū, su ∂Ωu
(2.1)
Se le condizioni suddette, di continuità e iniettività per le funzioni yk, k =
1, 2, 3 e quelle di spostamento assegnato su ∂Ωu, sono rispettate si ottengono
trasformazioni compatibili (o congruenti) cinematicamente [7]. In particolare,
si parla di condizioni di compatibilità esterna per le (2.1) e di compatibilità
interna per le altre. Viene inoltre ipotizzato che le yk, k = 1, 2, 3 siano
sufficientemente differenziabili affinchè siano definibili alcune operazioni su
di esse.
Per caratterizzare la cinematica di un corpo continuo viene usata la
misura di Green, un indicatore locale della deformazione. La misura di Green
conduce alla definizione del tensore della deformazione e alla formulazone
delle equazioni di compatibilità interna.
Si consideri l’elemento infinitesimo di lunghezza ds0 uscente dal generico
punto P0 della configurazione indeformata, di coordinate x1, x2, x3. In seguito
ad una deformazione tale elemento si trasforma nell’elemento infinitesimo
di lunghezza ds uscente dal punto P della configurazione deformata, di coordinate
yk = yk(x1, x2, x3), k = 1..3. La misura di Green è pari alla differenza
tra il quadrato della lunghezza ds e il quadrato della lunghezza ds0.
Nell’ambito della descrizione lagrangiana (yk = yk(x1, x2, x3)), si ha
ds 2 = dykdyk = yk,idxiyk,jdxj
ds 2 0 = dxidxi = dxidxjδij
dove δij rappresenta il delta di Kronecker 4 . Tali espressioni sono caratteristica
di una metrica pitagorica nello spazio euclideo in cui supponiamo immerse
le configurazioni indeformata e deformata. La metrica proposta da
Green è assunta a misura della deformazione nell’intorno di P0, perchè la
• Si definisce funzione iniettiva una funzione f : A → B t.c.
4 Il delta di Kronecker vale
∀a1, a2 ∈ A, a1 = a2 ⇒ f(a1) = f(a2)
δij =
1 se i = j
0 altrimenti
10

sua conoscenza permette di conoscere le variazioni di lunghezza di ogni elemento
della stella di centro P0, cioè lo stato di deformazione nel punto P0.
Imponendo
εij = 1
2 (yk,iyk,j − δij) (2.2)
risulta
ds 2 − ds 2 0 = 2εijdxidxj
(2.3)
dove εij sono le componenti del tensore delle deformazioni che fornisce in
ogni punto del corpo una misura adimensionale della deformazione.
Dalla definizione (2.2) risulta che il tensore εij è simmetrico.
⎡
⎢
⎣
ε11 ε12 ε13
ε22 ε23
sym ε33
Le (2.3) contengono implicitamente le condizioni di compatibilità interna e
conducono alla scrittura delle equazioni di compatibilità interna in forma
esplicita
εij = 1
2 (ui,j + uj,i + uk,iuk,j)
che nell’ipotesi di piccoli spostamenti diventano
2.1.2 Statica
⎤
⎥
⎦
εij = 1
2 (ui,j + uj,i)
Per caratterizzare gli effetti delle forze sui corpi continui si usa la tensione
di Cauchy 5 , una misura locale delle sollecitazioni. La tensione di Cauchy
conduce alla definizione del tensore delle tensioni e alla formulazione delle
equazioni di equilibrio.
Sia dato un corpo continuo V soggetto a forze esterne ed in equilibrio,
che venga sezionato da un piano Πn, e siano △Fn e △Mn la forza e la coppia
risultanti agenti sulla generica area △An appartenente a Πn e dovute alle
forze necessarie a garantire l’equilibrio delle due porzioni in cui V è diviso
da Πn. Secondo le ipotesi di Cauchy:
△Fn
lim△An→0
△An
△Mn
= Sn, lim△An→0
△An
5 Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857), matematico. Il suo più grande contribuito alla
scienza è nato nell’ambito della meccanica del continuo, definito per questo anche continuo
di Cauchy
11
= 0

dove Sn è il vettore tensione di Cauchy. L’insieme S delle tensioni Sn agenti
su tutti i piani della stella di centro P (punto a cui tende △An) viene definito
tensione nel punto P . A partire dalla relazione del tetraedro di Cauchy
Sni
= σjinj
viene definito il tensore delle tensioni σij, e le equazioni di equilibrio sul
contorno
σjinj = ti, i = 1..3 (2.4)
Sulla base del tensore delle tensioni definito nelle formule precedenti è possibile
riformulare le condizionii di equilibrio alla traslazione ed alla rotazionie
nel modo seguente:
σji,j + bi = 0, i = 1..3 (2.5)
σij = σji
Infine è possibile riformulare il problema dell’equilibrio nel modo seguente:
σij,j + bi = 0, i = 1..3
σijnj = ti, i = 1..3
2.1.3 Formulazione del problema elastico
(2.6)
Per completare la descrizione del modello occorrono le equazioni di legame
costitutivo che mettono in relazione i tensori εij e σij. La relazione per un
materiale elastico isotropo è data da
σij = Cijhkεhk
dove Cijhk il tensore elastico, un tensore del IV ordine che, se si considera il
caso isotropo, è dato da:
Cijhk = λδijδhk + µ(δkiδhj + δhiδkj), i, j, h, k = 1..3 (2.7)
dove λ e µ sono le costanti di Lamé e δij è il simbolo di Kronecker.
Si perviene pertanto all formulazione del problema di un solido elastico di
Cauchy. In elasticità lineare, per materiali isotropi e sotto l’ipotesi di piccoli
spostamenti, per un mezzo soggetto a forze di volume b, trazioni superficiali
¯t sul contorno caricato ∂Ωt e a spostamenti impressi (o cedimenti vincolari) ū
sul contorno vincolato ∂Ωu, consiste in un sistema di equazioni alle derivate
parziali definite sul dominio Ω 6
divσ + b = 0 (2.8)
6 Gli operatori introdotti assumono il seguente significato:
ε = sym∇u (2.9)
σ = Eε (2.10)
12

con condizioni sul bordo in parte sugli spostamenti e in parte sulle forze di
superficie
u = ū, su ∂Ωu (2.11)
σn = ¯t, su ∂Ωt (2.12)
dove n è il versore normale a ∂Ωt, σ, ε sono rispettivamente il tensore delle
tensioni e il tensore delle deformazioni, E è il tensore elastico.
Benchè ben posto il problema elastico non è in generale facilmente risolubile
in forma chiusa. Per molti importanti casi particolari, soluzioni analitiche
sono state peraltro ottenute, sfruttando quelle caratteristiche del problema
specifico che consentono di semplificarne la formulazione così da renderla
matematicamente trattabile.
2.2 Tecniche di discretizzazione FEM
La teoria dell’elasticità, permettendo una formulazione matematicamente coerente
e meccanicamente ben fondata, rappresenta senza dubbio uno dei risultati
più significativi della fisica-matematica dell’ottocento. Tuttavia ad oggi
è noto come, con le pur importanti eccezioni di un certo numero di problemi
specifici, le difficoltà connesse con l’effettivo calcolo della soluzione sono
notevoli se non addirittura insormontabili, sia pur mantenendo le ipotesi
di linearità geometrica (piccoli spostamenti) e/o di materiale. Sono state
peraltro ricercate approssimazioni ragionevoli per mezzi continui dotati di
particolare struttura, che ne consentissero una più agevole soluzione senza
compromettere la correttezza della soluzione (teorie strutturali delle travi,
⎡
⎢
div ⎢
⎣
m11 m12 ... m1n
m21 m22 ... m2n
.
.
. ..
.
mn1 mn2 ... mnn
⎡
⎢
m = ⎢
⎣
⎧
⎪⎨
grad
⎪⎩
v1
v2
.
vn
⎫ ⎡
⎪⎬ ⎢
= ⎢
⎣
⎪⎭
⎤
⎧
⎥
⎦ =
⎪⎨
⎪⎩
m11,1 + m12,2 + ...m1n,n
m21,1 + m22,2 + ...m2n,n
.
mn1,1 + mn2,2 + ...mnn,n
v1,1 v1,2 ... v1,n
v2,1 v2,2 ... v2,n
.
m11 m12 ... m1n
m21 m22 ... m2n
.
.
.
.
. ..
.
. ..
.
vn,1 vn,2 ... vn,n
.
.
mn1 mn2 ... mnn
13
⎤
⎤
⎥
⎦
⎥
1
⎥ , sym (m) =
⎦ 2 (m + mT )
⎫
⎪⎬
⎪⎭

delle piastre, dei gusci). In tempi relativamente brevi, la disponibilità di
potenti mezzi di calcolo, ha portato inoltre alla definizione di modelli indipendenti
dalle particolari tipologie strutturali, quali quelli a elementi finiti,
che consentono raffinate analisi numeriche di strutture anche notevolmente
complesse.
2.2.1 Metodi agli elementi finiti
I metodi degli elementi finiti sono tecniche atte ad approssimare le equazioni
differenziali che governano un sistema continuo con un sistema di equazioni
algebriche in un numero discreto di incognite e generate mediante l’impiego di
un principio variazionale [10]. La fortuna di tali metodi è dovuta soprattutto
alla facilità con cui possono essere tradotti in strumenti di calcolo automatico.
Il primo passo da effettuare è una discretizzazione del sistema continuo,
oggetto dell’analisi. Tale discretizzazione consiste nel suddividere il dominio
in sottodomini, detti elementi finiti, e individuare dei punti, chiamati nodi
sul contorno o nell’interno degli elementi. Un numero finito di parametri
(valori della funzione incognita delle equazioni differenziali del sistema continuo
o delle sue derivate o parametri di controllo (§ 3)) vengono poi assunti
come variabili incognite del sistema discreto e la funzione incognita e le sue
derivate vengono ricavate mediante funzioni di interpolazione definite sui singoli
elementi. Nel caso dei problemi strutturali, vengono scelti come incognite
del problema discreto, parametri di spostamento o sforzo, e spostamenti, deformazioni
e tensioni in un punto generico sono espresse in termini di tali
variabili mediante interpolazione. A seconda che si scelgano come variabili,
solo misure del campo degli spostamenti o sia misure del campo degli spostamenti
che di quello degli sforzi, si parla rispettivamente di elementi finiti
compatibili o elementi misti (§ 2.2.2).
2.2.2 Formulazione variazionale compatibile standard
Nella formulazione compatibile vengono imposte a priori le equazioni di compatibilità
e legame costitutivo e vengono imposte in forma debole le equazioni
di equilibrio. I gradi di libertà del problema sono quindi gli spostamenti e
le equazioni da risolvere sono equazioni di equilibrio. Il principio di minimo
dell’energia potenziale totale è alla base di tale formulazione e la forma
debole ad esso associata è l’equazione dei lavori virtuali.
Si prenda il funzionale energetico EP T pari a:
EP T [u] := 1
2
Cijhk(∇u)ij(∇u)hk
Ω
energia elastica
14
−
tu
∂Ωt
lavoro esterno
, (2.13)

il quale attinge il suo minimo in corrispondenza della soluzione del problema.
Nel funzionale (2.13), u è il campo degli spostamenti definito sul dominio Ω,
t il vettore dei carichi di superficie agenti sulla porzione di contorno ∂Ωt,
Cijhk il tensore elastico definito nella (2.7).
La riformulazione al discreto del funzionale energia potenziale sulla base
dell’interpolazione del campo degli spostamenti, consente la definizione della
matrice di rigidezza e del vettore dei carichi per l’intera struttura. Quindi, la
condizione di stazionarietà associata fornisce il sistema algebrico risolvente.
La procedura viene effettuata assemblando i contributi provenienti da ciascun
elemento della discretizzazione. A tal fine conviene ridefinire le quantità coinvolte
sulla base di una notazione vettoriale più adatta alla formulazione del
problema algebrico da implementare nel codice di calcolo.
Per caratterizzare lo stato di tensione in un punto si introduce il vettore
σ T = {σxx σyy σzz τxy τxz τyz} (2.14)
dove σxx, σyy, σzz sono le componenti di tensione normali e τxy, τxz, τyz sono
le componenti di tensione tangenziali.
Il vettore degli spostamenti che misura i cambiamenti nella posizione di
un punto all’interno di un corpo soggetto a carichi esterni, può essere scritto
in funzione delle sue componenti cartesiane come
u = u(x, y, z) î + v(x, y, z)ˆ j + w(x, y, z) ˆ k (2.15)
Lo stato di deformazione in un punto è anch’esso caratterizzato da sei
componenti indipendenti mediante il vettore
ε T = {εxx εyy εzz γxy γxz γyz} (2.16)
dove εxx, εyy, εzz sono le componenti di deformazione normali e γxy, γxz, γyz
sono le componenti di deformazione tangenziali.
Sulla base delle quantità sopra introdotte, la relazione di compatibilità è formulabile
come:
ε = Du (2.17)
dove D è l’operatore differenziale lineare:
⎡
⎢
D = ⎢
⎣
∂ 0 0
∂x
∂ 0 0 ∂y
0 0 ∂
∂z
∂ ∂ 0
∂y ∂x
∂ ∂ 0 ∂z ∂x
∂ ∂ 0 ∂z ∂y
15
⎤
⎥
⎦

In modo analogo il legame elastico lineare può essere riformulato nel modo
seguente:
σ = Cε (2.18)
dove
C = E
⎡
⎢
1 + ν ⎢
⎣
1−ν
1−2ν
ν
1−2ν
ν
1−2ν
0
0
ν
1−2ν
1−ν
1−2ν
ν
1−2ν
0
0
ν
1−2ν
ν
1−2ν
1−ν
1−2ν
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2 0
0 0 0 0 0 1
2
⎤
⎥
⎦
A questo punto è possibile introdurre l’interpolazione del campo degli
spostamenti:
u = Nw ⇒ ε = DNw = Bw (2.19)
dove N è la matrice delle funzioni di interpolazione del campo degli spostamenti,
w il set di parametri discreti di spostamento o coordinate di Lagrange,
B l’operatore di comatibilità al discreto. Seguendo questa notazione si potrà
riscrivere il funzionale energia potenziale riferendosi al dominio discretizzato
in elementi finiti, e quindi determinare il sistema algebrico risolvente.
EP T =
e
1
2
Ωe ue T D T CDue −
Ωe ue T b −
∂Ωet ue T t
=
1
e 2 Ωe we T Ne T DT CDNewe −
Ωe we T Ne T b −
∂Ωet we T Ne T t
=
1
e 2 Ωe we T Be T CBewe −
Ωe we T Ne T b −
∂Ωet we T Ne T t
=
⎧
⎪⎨
1 T
e we Be 2
Ωe
⎪⎩
T CBe we − we
T
Ke
= min
⇒ Kw = p
Ne
Ωe
T b
pb e
−we T
⎫
Ne
∂Ωet
T t
pt ⎪⎬
⎪⎭
e
La matrice di rigidezza elastica K e il vettore dei carichi (forze generalizzate
nelle coordinate di Lagrange) p possono essere definiti a partire dal
principio di minimo dell’EPT. Secondo tale definizione la matrice di rigidezza
può essere ricavata secondo
Φ = 1
2 wT Kw = 1
σ
2 Ω
T εdΩ (2.20)
16

cioé dall’uguaglianza energetica fra l’energia di deformazione del sistema continuo
e quella del sistema discreto equivalente. Analogamente la matrice delle
masse si ricava dall’uguaglianza fra l’energia cinetica del sistema continuo e
quella scritta al discreto
Ec = 1
2 ˙wT M ˙w = 1
ρu
2 Ω
T udΩ (2.21)
Seguendo un approccio ad elementi finiti compatibili, le matrici di rigidezza
e delle masse e il vettore dei carichi della struttura sono ottenute tramite
assemblaggio delle matrici e vettori elementari. I contributi elementari si
determinano applicando le (2.20), (2.21) al singolo elemento.
2.2.3 Matrice delle Masse locale
La matrice delle masse Me di un elemento, può essere definita mediante
l’espressione al discreto dell’energia cinetica Ece dell’elemento stesso
dove
Ece = 1
2 ˙ we T Mewe ˙
(2.22)
we ˙ è il vettore dei parametri discreti di velocità. La matrice Me può essere
ricavata manipolando e successivamente uguagliando al secondo membro di
(2.22), l’espressione al continuo di Ece, la quale nel caso di un sistema di
dominio Ωe, densità di massa costante ρ e campo di velocità ue, ˙ risulta:
Sostituendo infatti
ue ˙ = ∂ue
∂t
nella (2.23) si ottiene
Ece
Ece = 1
ρue ˙
2 Ωe
T uedΩe ˙
=
=
=
=
ue1 ˙ ue2 ˙ ue3 ˙
T
1
ρue ˙
2 Ωe
T uedΩe ˙
1
2 ρ
∂u
Ωe
T e ∂ue
∂t ∂t dΩe
1
2 ˙ we T
ρ
matrice masse
⇒ Me = ρ
N
Ωe
T e NedΩe
17
= Newe ˙
N
Ωe
T e NedΩe we
˙
(2.23)
(2.24)
(2.25)

2.2.4 Contributo locale al termine noto dovuto ai carichi
distribuiti definiti sul contorno
Il contributo p t e al vettore dei termini noti, dei carichi distribuiti costanti ¯t
assegnati su una porzione ∂Ωet del contorno dell’elemento può essere definito
secondo la scrittura al discreto del lavoro di tali carichi:
LC∂Ωe = p t t T
e we
(2.26)
dove we è il vetore dei parametri discreti di spostamento. Il vettore p t e
può essere ricavato manipolando e successivamente uguagliando al secondo
membro della (2.26), l’espressione al continuo di LC∂Ωet
LC∂Ωe = ¯tuedΩe
t
∂Ωe t
dove ue sia il campo degli spostamenti.
Usando infatti la (2.19) nella (2.27) si ottiene:
LC∂Ωe t
⇒ p t e = ¯t
=
=
∂Ωe t NedΩe
2.2.5 Matrice di Rigidezza locale
¯t
∂Ωet
¯tuedΩe
NedΩe
∂Ωet
p
t e
we
(2.27)
(2.28)
La matrice delle rigidezze Ke di un sistema, può essere definita mediante
l’espressione al discreto dell’energia di deformazione Φe del sistema stesso
dove
Φe = 1
2 wT e Kewe
(2.29)
we è il vettore dei parametri discreti di spostamento. La matrice Ke
può essere ricavata manipolando e successivamente uguagliando al secondo
membro di (2.29), l’espressione al continuo di Φe, la quale nel caso di un
sistema di dominio Ωe, campo di tensioni σe e campo di deformazione εe,
risulta:
Φe = 1
σ
2 Ωe
T e εedΩe
18
(2.30)

Usando infatti le (2.19), (2.18), (2.17) nella (2.30) si ottiene
Φe =
1
σ
2 Ωe
T =
εdΩe
1
ε
2 Ωe
T =
CεdΩe
1
w
2 Ωe
T e N T e D T =
CDNewedΩe
1
2 wT
e B
Ωe
T e CBedΩe we
matrice rigidezze
⇒ Ke = B T e CBedΩe
2.2.6 Tecnica d’assemblaggio
Ωe
(2.31)
Sia dato un sistema e si consideri una matrice associata ad esso, che esprima
le relazioni esistenti fra i suoi gradi di libertà, o un vettore associato ad esso,
che esprima una proprietà per ciascun dei suoi gradi di libertà. Sia il sistema
partizionato in un insieme di sottosistemi e si voglia poter determinare tale
matrice e tale vettore tramite assemblaggio di singoli contributi provenienti
da tali sottosistemi. La generica cella (p, q) della matrice assemblata deve
esprimere la relazione fra i gradi di libertà p e q. Tale relazione è data
perciò dalla sovrapposizione delle relazioni fra p e q contenute nei singoli
contribuenti. Analogamente per un vettore, la generica cella p del vettore
assemblato esprime la proprietà associata al grado di libertà p ed è dato dalla
sovrapposizione delle proprietà legate a p contenute nei singoli contribuenti.
Note che siano le relazioni o proprietà locali, i singoli contributi vengono
assegnati rispettando una corrispondenza biunivoca fra i gradi di libertà nel
riferimento globale e i gradi di libertà nel generico riferimento locale.
La tecnica dell’assemblaggio viene utilizzata nel metodo ad elementi finiti
per la determinazione delle proprietà globali del sistema, in particolare
matrici di rigidezza e delle masse e il vettore dei termini noti. I singoli contribuenti
sono le matrici e vettori locali. In altre parole, il comportamento
globale della struttura, descritto tramite le proprietà globali del sistema, matrice
di rigidezza, matrice delle masse e vettore dei carichi generalizzati, viene
valutato assemblando il contributo di ogni elemento.
K = Ae(Ke)
M = Ae(Me)
p = Ae(pe)
19

2.2.7 Discretizzazione FEM di un solido
In un modello FEM compatibile tradizionale, che usi cioè interpolazione
lagrangiana o hermitiana:
• vengono individuati gli elementi in cui viene partizionato il dominio
globale;
• vengono individuati alcuni punti del dominio globale, sul contorno o
l’interno degli elementi, detti nodi, nei quali, ai fini della formulazione
teorica dell’elemento adottato, vengono imposti a livello locale i valori
della funzione incognita o di una sua derivata;
• i valori nodali della funzione incognita o di una sua derivata imposti per
ricavare la formulazione dell’elemento adottato, vengono individuati
come parametri globali, cioè i gradi di libertà del problema globale,
nonchè parametri usati per l’interpolazione locale della soluzione.
Nel caso del modello HCFEM:
• vengono individuati gli elementi in cui viene partizionato il dominio
globale;
• vengono individuati alcuni punti del dominio globale, sul contorno degli
elementi, detti nodi, nei quali, ai fini della formulazione teorica dell’elemento
adottato, vengono imposti a livello locale i valori della funzione
incognita o di una sua derivata, in funzione di alcuni parametri detti
parametri di controllo o parametri HC associati a dei punti del
dominio detti punti di controllo o nodi HC;
• i parametri di controllo vengono individuati come parametri globali,
cioè i gradi di libertà del problema globale, nonchè parametri usati per
l’interpolazione locale della soluzione.
Volendo generalizzare, si può dire che per definire un modello FEM compatibile,
vengono individuati:
• gli elementi in cui viene partizionato il dominio
• i parametri globali e la loro connessione agli elementi
e vengono fornite le informazioni relative a tali enti.
Conviene definire istanze elemento che saranno caratterizzate da:
• parametri connessi,
20

• nodi connessi in cui imporre i vincoli per definire l’interpolazione,
• caratteristiche meccaniche.
Conviene definire istanze nodo, nel caso di discretizzazioni lagrangiane
o hermitiane, o istanze nodo HC, nel caso di omonime discretizzazioni, che
sono caratterizzate da:
• coordinate,
• valori del termine noto associati,
• condizioni di vincolo sui parametri globali associati,
• parametri globali associati.
Il ruolo svolto dai valori nodali nelle interpolazioni lagrangiana ed hermitiana
è svolto nell’interpolazione HC dai parametri di controllo. Nelle interpolazioni
lagrangiana ed hermitiana il set di parametri discreti incognite
del problema è costituito da valori nodali della funzione (lagrangiana) ed
eventualmente (hermitiana) di una sua derivata. Di conseguenza le matrici
del problema saranno scritte con riferimento a tali parametri. Nell’interpolazione
spline il set di parametri discreti incognite del problema è costituito
dai parametri di controllo e ovviamente di nuovo le matrici del problema
saranno scritte con riferimento a tali parametri.
21

Capitolo 3
Interpolazione spline
La necessità di buone tecniche per l’approssimazione di funzioni si presenta
in molti contesti: data fitting, soluzioni appprossimate di equazioni differenziali
e integrali tramite metodi variazionali, formule di integrazione e
differenziazione numerica, tecniche numeriche per la risoluzione di equazioni
differenziali non lineari del primo ordine [5]. Se si considera, ad esempio,
una equazione differenziale ordinaria nell’incognita f(x) soggetta a determinate
condizioni al bordo, è ben noto che in alcuni casi la soluzione esatta di
tale problema non può essere calcolata. Si procede perciò alla ricerca di una
buona approssimazione φ(x) della soluzione esatta f(x). Per fare ciò si dovrà
stabilire, data la funzione f(x), quali funzioni φ(x) forniscono una buona approssimazione
di f(x), che cosa si intende per buona approssimazione e come
determinare una buona approssimazione φ(x) di f(x).
3.1 Approssimazione di funzioni
Approssimare una data funzione, p. es. reale di una variabile reale, mediante
particolari combinazioni di funzioni appartenenti a date classi, è uno dei
problemi centrali dell’analisi numerica. Le classi funzionali di più frequente
impiego sono: polinomi, funzioni di Fourier (sennx, cosnx, n = 0, 1, ...). La
funzione approssimante, che viene sostituita a quella di partenza, deve essere
tale da soddisfare certi requisiti di aderenza a quest’ultima ed essere
valutabile in maniera sufficientemente facile, con i mezzi di calcolo disponibili.
Una delle tecniche di approssimazione più vecchie (risale almeno al XVIII
sec. con Eulero e Lagrange e al 1822 con Fourier), è quella di approssimare
una data funzione f(x) con la somma finita:
φ(x) = c1Φ1(x) + c2Φ2(x) + ... + cnΦn(x) (3.1)
22

di funzioni note che sono piuttosto semplici da calcolare. Le funzioni Φk
sono le funzioni approssimanti, i coefficienti ck sono costanti che vengono
determinati in base a vincoli che vengono imposti su φ(x).
Anche la serie di Fourier deriva da questa idea e può essere usata per
tentare di dare un’espressione di f(x) secondo la somma infinita:
f(x) = Σ ∞ k=0[cksinakt + bkcosakt]
dove a è una data costante. Troncando tale serie, si ottiene:
φ(x) = c0 + c1sinat + b1cosat + c2sin2at
+b2cos2at + ... + cnsinnat + bncosnat
dove le costanti ci, bi, i = 0..n vengono determinate in base a vincoli su
φ(x).
Invece di usare come funzione approssimante φ(x) una funzione trigonometrica,
si può usare una funzione più semplice, quale ad esempio un polinomio
(polynomial) o una polinomiale a tratti (piecewise polynomial). In
particolare, scelte Φk = x k , k = 0..n si ottiene:
φ(x) = cnx n + cn−1x n−1 + ... + c2x 2 + c1x + c0
che è un polinomio di grado ≤ n 1 , con coefficienti ck, k = 0..n, che sono delle
costanti reali se abbiamo a che fare con un polinomio reale, e che vengono
determinati in base ai vincoli posti su φ(x).
Supposta f(x) ∈ C[a, b], cioè f(x) continua su un dato intervallo [a, b],
se si scelgono Φ1, Φ2, ..., Φn ∈ C[a, b], l’approssimazione espressa nella (3.1)
φ(x) ∈ span(Φ1, Φ2, ..., Φn) che è un sottospazio 2 di C[a, b]. Inoltre se Φ1, Φ2, ..., Φn
sono linearmente indipendenti, allora Xn = span(Φ1, Φ2, ..., Φn) è un sottospazio
di C[a, b] a dimensione n. Scelta come tecnica di approssimazione la
(3.1), occorre stabilire un criterio per stimare la qualità dell’approssimazione,
ad es. si stabilisca che φ(x) è una buona approssimazione di f(x) se f −φ
è sufficientemente piccolo, dove . sia una norma su C[a, b].
Data in generale una funzione approssimante espressa secondo la (3.1) si
avranno n costanti incognite ck, k = 1..n e saranno perciò richiesti almeno n
vincoli o condizioni su φ(x). Tali vincoli dovrebbero essere scelti in modo tale
che φ(x) sia una buona approssimazione di f(x) e che ci sia una soluzione
1 Un polinomio di grado ≤ n in una variabile x
p(x) = anx n + an−1x n−1 + ... + a1x + a0,
con a0, a1, ..., an ∈ R risulta essere di grado n, p(x) ∈ Pn ⇔ an = 0
2 Si vedano in appendice i richiami di algebra lineare.
23

unica per le incognite ck, k = 1..n. Sono numerosi i tipi vincoli che si possono
imporre su φ(x). Fra questi è possibile citare:
Vincoli di interpolazione puri:
♦ φ(xi) = f(xi) in n distinti punti xi ∈ [a, b], i = 1..n;
Vincoli di interpolazione e vincoli di regolarità:
♦ φ(xi) = f(xi) in k distinti punti xi ∈ [a, b], i = 1..k
♦ φ(x1) = f(x1), φ(xk) = f(xk)
♦ φ(x) sia due volte differenziabile con continuità
Sia data una funzione f(x) ∈ C[a, b] da approssimare e sia data una
suddivisione a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b dell’intervallo [a, b], dove
x0, x1, ..., xn sono un numero finito di punti, sono chiamati nodi o punti di
collocazione o punti base e possono essere intesi come i punti dove si impongono
i vincoli della funzione approssimante. Si voglia trovare un polinomio
p(x) che interpoli f(x) nei nodi x0, x1, ..., xn, cioè t.c. p(xi) = f(xi), i = 0..n.
L’errore f − p varierà modificando il grado del polinomio, il numero di
nodi e la posizione dei nodi. Fra le interpolazioni polinomiali la tecnica più
semplice è quella che usa i polinomi di Lagrange. Il polinomio di Lagrange
di grado n associato con la tabulazione è il polinomio (l’unico e solo)
3.2 Funzioni Spline
Si considerino n + 1 valori y0, y1, ..., yn in corrispondenza di n + 1 punti base
o nodi distinti x0, x1, ..., xn in un intervallo chiuso [a, b] tali che:
a = x0 < x1 < ... < xn = b.
Esiste uno e un solo polinomio di grado ≤ n, detto polinomio di interpolazione,
che assuma nei punti xi i corrispondenti valori prefissati yi,
Pn(xi) = yi, i = 0, 1, ..., n
cioè sia passante per gli n + 1 punti del piano (xi, yi), i = 0, 1, ..., n. Se n
è abbastanza grande, p. es., n ≥ 7, questo polinomio presenta in generale
un andamento con oscillazioni molto ampie; ciò non è accettabile nel caso in
cui si vuole ottenere una curva con oscillazioni poco marcate o, come si dice
24

liscia (smooth). In questo caso si può ottenere lo scopo desiderato operando
con n polinomi di grado m basso, p. es. m = 3, ciascuno dei quali è definito
su uno soltanto degli n sottointervalli individuati dai nodi.
Si consideri una partizione di [a, b] individuata dai nodi, cioè una famiglia
F di sottointervalli (xi, xi+1), i = 0, 1, ..., n − 1 chiusi aperti o semiaperti ma
tali da non avere punti in comune e da esaurire [a, b]. Si dice funzione polinomiale
a tratti (polynomial piecewise function) di grado m e nodi x0, x1, ..., xn
associata alla partizione F , una funzione p(x) definita su tutto [a, b], che in
ciascun sottointervallo (xi, xi+1) coincide con un polinomio pi+1(x) di grado
m.
É opportuno notare che una funzione polinomiale non è necessariamente
continua nei nodi interni, cioè può in essi mancare il raccordo tra i due tratti
contigui di curva e manifestarsi quindi un salto. Nella pratica è interessante
prendere in considerazione tra le funzioni polinomiali a tratti quelle che presentano
una certa regolarità, cioè sono continue nei nodi interni con le loro
derivate fino ad un certo ordine.
Assegnati l’intervallo [a, b] ed i nodi x0, x1, ..., xn si chiama funzione Spline,
o semplicemente Spline, di grado m e nodi x0, x1, ..., xn, una funzione sm(x),
che:
• in ciascun sottointervallo (xi, xi+1), i = 0, 1, ...n − 1 coincide con un
polinomio sm,i+1(x) di grado m
• è continua in [a, b] con le sue derivate s (k)
m , k = 1, 2, ...m − 1
In altre parole:
sm(x) |(xi,xi+1)∈ Pm
sm(x) ∈ C m−1 [a, b].
(3.2)
La spline sm(x) sulla suddivisione x0, x1, ..., xn dipende da (m + 1)n coefficienti,
essendo costitutita da n polinomi di grado m, ciascuno dei quali
dipendente da m + 1 parametri. I singoli polinomi di gardo m non sono comunque
indipendenti perchè sugli n − 1 nodi interni devono soddisfare, per
la regolarità richiesta, le condizioni
limx→xis(k) m,i(x) = limx→xis(k) m,i+1(x) (3.3)
con k = 0, 1, ..., m−1 e i = 1, 2, ...n−1. Quindi per determinare univocamente
la spline sm(x) è necessario imporre altre m + n condizioni,
(m + 1)n
vincoli richiesti
− m(n − 1) = m + n
vincoli disponibili (3.3) condizioni da aggiungere (dof)
la cui natura dipende dal particolare tipo di problema che si vuole risolvere.
25

Le spline più utilizzate sono quelle con m = 3, dette spline cubiche, a
cui si chiede inoltre di soddisfare le proprietà di interpolazione nei nodi ed
opportune condizioni agli estremi dell’intervallo. In particolare è detta spline
cubica naturale una funzione s3(x) univocamente definita secondo:
1. s3 ∈ C 2 [a, b], cioè s3(x) è continua con le sue derivate prime e seconde
continue in [a,b];
2. su ciascun sottointervallo (xi, xi+1), i = 0, 1, ..., n + 1, s3(x) è un polinomio
s3,i+1(x) di terzo grado, cioè
s3,i+1(x) = Ai+1,0 + Ai+1,1x + Ai+1,2x 2 + Ai+1,3x 3
i = 0, 1, ..., n − 1
3. nei nodi s3(xi) = yi, i = 0, 1, ..., n + 1
4. s3(x) verifica agli estremi di [a, b]
s ′ 3(a) = s ′ 3(b) = 0
Le spline cubiche naturali presentano oscillazioni non troppo numerose nè
ampie, mostrando così quelle caratteristiche di approssimazione liscia richieste
3 .
La dimensione dello spazio Sm delle spline sm(x) su [a, b] relative ad n+1
nodi distinti è dim{Sm} = m + n. Una spline può essere convenientemente
rappresentata come combinazione lineare di dim{Sm} funzioni di base tali
per cui le proprietà di spline (3.2) siano automaticamente verificate. Vengono
generalmente usate come base per le spline, le B-Spline (o bell-spline) 4 . La
3 Il vocabolo inglese spline indica un sottile righello flessibile, vincolato a passare mediante
opportune guide senza discontinuità o punti angolosi per i punti di un piano
(xi, yi), i = 0, 1, ..., n + 1 e usato dai disegnatori per raccordare tali punti. L’energia
potenziale elastica del righello, compatibilmente con i vincoli assegnati, è minima, ed è
minima la sua curvatura. tale comportamento può essere modellizzato matematicamente
con una spline cubica naturale; precisamente si può dimostrare la proprietà di minimo:
fra tutte le funzioni u(x) ∈ C 2 [a, b], che interpolano i punti assegnati, si ottiene il minimo
del funzionale b
[u
a
′′ (x)] 2 dt
quando u(x) coincide con una spline cubica naturale.
4 Altrove si usa chiamare quelle che qui chiamiamo B-spline, come basis B-Spline, e le
combinazioni lineari di tali basis B-Spline, cioè quelle che finora abbiamo chiamato spline,
come B-Spline.
26

B-Spline B m i di ordine m relativa ai nodi distinti xi, xi+1, ..., xi+m+1 può essere
definita secondo la formula ricorsiva:
B0
1 se x ∈ [xi, xi+1],
i (x) =
0 altrimenti,
B m i (x) = x−xi
xi+m−xi Bm−1
i (x) + xi+m+1−x
xi+m+1−xi+1 Bm−1
i+1 (x), k ≥ 1
(3.4)
Dati n + 1 nodi distinti, xi, i = 0..n si possono costruire n − m B-spline
linearmente indipendenti di grado m, ma restano da saturare ancora 2m
gradi di libertà per ottenre una base per Sm. Un modo di procedere consiste
nell’introdurre 2m nodi fittizi
x−m ≤ x−m+1 ≤ ... ≤ x−1 ≤ x0 ≡ a, b ≡ xn ≤ xn+1 ≤ ... ≤ xn+m
ai quali vengono associate le B-spline B m i , i=-m..-1 e i=n-m..n-1. Con questo
accorgimento ogni spline sm ∈ Sm potrà essere scritta come:
sm(x) = Σ n−1
i=−k ciB k i (x)
dove ci sono valori reali, detti coefficienti B-spline.
3.3 Spline nel Computer Aided Geometric Design
Nel passato si usava distinguere le linee luogo geometrico dalle linee grafiche.
Le prime potevano essere controllate con strumenti semplici, come il compasso,
e conseguentemente tracciate in cantiere per guidare la costruzione di un
muro o di una copertura. Le seconde, invece, nate dal gesto della mano che
disegna senza alcun ausilio tecnico, non potevano essere descritte in forma algoritmica
ed erano, perciò, difficili da controllare. Per tracciare linee grafiche
passanti per punti prefissati,nel disegno architettonico, quale ad esempio la
curva dell’entasi, cioè la curva che raccorda l’imoscapo al sommoscapo nella
sezione rastremata del fusto delle colonne di ordine classico, Pietro Cataneo
nel 1567, propone di usare un regolo piegabile (si veda Figura 3.1). Un
identico problema si presenta nella costruzione degli scafi, degli aerei e delle
carrozzerie delle automobili e una identica soluzione è stata utilizzata per
controllare queste curve dalla forma libera, fino all’avvento dell’informatica.
Le curve, infatti, venivano tracciate raccordando pochi punti con sottili
listelli detti ’splines’, bloccati da pesi (si veda Figura 3.2(d)).
Oggi, invece, il termine è usato come acronimo dell’espressione ’smooth
polyline’ e sta ad indicare un algoritmo che permette di descrivere numericamente
un curva qualsiasi. Questa soluzione ha numerosi vantaggi: la curva
27

Figura 3.1:
è controllata analiticamente con grande accuratezza; può essere riprodotta
esattamente, ingrandita o rimpiccolita a piacere; permette infine, come
vedremo, di descrivere con il medesimo algoritmo curve e superfici da esse
generate diversissime, anche le curve e le superfici luogo geometrico, come
caso particolare.
Una spline è, in generale, una curva, generata analiticamente, che simula
il comportamento di una linea grafica ovvero dei listelli flessibili (detti, appunto,
spline), usati per disegnare forme ’avviate’, come quelle degli scafi o
degli aeroplani. La spline viene governata da una serie di punti isolati, oppure
anche dai vertici e dai lati di una linea spezzata: questi punti sono detti
poli o punti di controllo (si veda Figura 3.2(a)). Conveniamo di chiamare k
l’ordine della curva, n il grado del polinomio che la descrive e m il numero
dei punti di controllo. Il grado n di una spline è uguale all’ordine k diminuito
dell’unità: n = k-1
Una spline può appartenere ai punti di controllo o semplicemente avvicinarsi
ad essi, nel primo caso si dice curva di interpolazione, nel secondo curva
di approssimazione.
Le spline di interpolazione hanno ordine k = 4 e perciò sono descritte da
polinomi di terzo grado (n = 3): si dicono anche curve polinomiali cubiche.
Tutti i modellatori dispongono di comandi per costruire le spline cubiche
(AutoCAD R○, Rhino R○, MicroStation R○). Il più noto degli algoritmi di approssimazione
è dovuto al matematico francese Pierre Bézier. Una curva di
Bézier è una curva di approssimazione che non passa attraverso i punti che
28

interpola (con l’eccezione del primo e dell’ultimo, quando è aperta). L’ordine
di una curva di Bézier è sempre uguale al numero dei poli. Perciò: una curva
di Bézier è una curva di interpolazione che ha un numero di nodi m eguale
al suo ordine k (k=m). Quella in Figura 3.2(b), ad esempio, è una curva di
Bézier, di ordine 5: il polinomio che la descrive è di quarto grado (n = k-1
= 4).
Le proprietà delle curve di Bézier: se è aperta, la curva passa per lo
start point e per l’end point; se è chiusa passa solo per il primo e l’ultimo
dei punti di controllo, che coincidono; le tangenti alla curva nei punti suddetti
sono il primo e l’ultimo segmento della spezzata guida; la curva giace
per intero nell’involucro convesso della spezzata guida, cioè all’interno del
poligono convesso che si ottiene ’avvolgendo la spezzata con un elastico’ (si
veda Figura 3.2(c) tracciato in verde);
29

(a)
(b)
(c) (d)
Figura 3.2: (a) Esempio di curva spline; (b) Esempio di curva di Bézier; (c)
Proprietà delle curve di Bézier; (d) Strumento spline per il disegno.
30

Le B-spline sono curve che discendono dalle curve di Bézier, ma sono
formate da più tratti o spans e hanno ordine k minore o uguale al numero p
dei poli: per esempio, data una spezzata con 12 vertici, l’ordine della curva
può variare tra 12 e 2. Se l’ordine è 12, la curva è una curva di Bézier,
come caso particolare. Se l’ordine è 2, la curva degenera e coincide con la
spezzata di controllo. Le curve di Bézier sono dunque un caso particolare
delle B-spline.
In Figura 3.3(a) si vede una spezzata con sei vertici che controlla quattro
B-spline di ordine 3 (in grigio chiaro), 4, 5 e 6 (in blu). La B-spline blu è
una curva di Bézier.
Riassumiamo qui di seguito le proprietà delle B-spline che consentono di
modellarle. la B-spline è una curva il cui ordine k può essere uguale o minore
del numero mdei poli; la curva passa per lo start point e per l’end point; le
tangenti alla curva nei punti suddetti sono il primo e l’ultimo segmento della
spezzata guida; la curva giace per intero nell’involucro convesso generato
dai k vertici contigui della spezzata guida, dove k è l’ordine della curva ad
esempio: nella Figura 3.3(b) è stata costruita una B-spline controllata da sei
vertici di una spezzata (in rosso); l’ordine della spline è 4; se si costruisce
un poligono di 4 lati con i primi quattro vertici della spezzata, si vede che
la parte della B-spline interessata dai quattro vertici del poligono è tutta al
suo interno; analogamente per il poligono successivo (in verde), e così via.
la curva si allontana dai poli tanto più, quanto più è grande il suo ordine
k (si veda il primo esempio di B-spline dato sopra); quindi, più si desidera
smussare la spezzata di controllo, più alto deve essere il grado della curva; se
la spezzata guida possiede k nodi consecutivi allineati, la curva in quel tratto
è rettilinea; ad esempio: nella Figura 3.3(c)la spezzata possiede otto vertici,
quattro dei quali allineati; la B-spline gialla ha ordine 8, la verde ordine 4; la
B-spline verde ha un tratto rettilineo compreso tra i quattro punti di controllo
allineati; la B-spline consente il controllo locale della forma: se si cambia un
nodo, vengono influenzati k tratti soltanto; viceversa, ogni tratto della curva è
influenzato da k punti di controllo. se due o più punti di controllo coincidono,
la curva si avvicina al nodo, tanto più, quanto maggiore è il numero dei punti
coincidenti; per k nodi coincidenti, la curva passa per il punto di controllo; la
spezzata, nella Figura 3.3(d), ha tre punti di controllo coincidenti nel vertice
in basso; la spline blu, di ordine 3, passa per il vertice, spezzandosi; la spline
rossa, di ordine 6, non passa per il vertice, ma gli si avvicina.
31

(a)
(b)
(c) (d)
Figura 3.3: Esempi di curve B-spline
32

Le NURBS (Non Uniform Rational B-spline) sono B-spline controllate da
punti e da pesi relativi ad ogni punto di controllo. Le B-spline sono dunque un
caso particolare delle NURBS, che si verifica quando i pesi dei punti controllo
sono tutti eguali. Anche le NURBS, come le B-Spline sono formate da più
archi o spans. La continuità tra questi archi è descritta da un numero intero:
co = 0 sta per continuità posizionale, gli archi sono semplicemente contigui;
co = 1 sta per continuità tangenziale, gli archi sono contigui e ammettono
la medesima tangente nel punto di saldatura; co = 2 sta per continuità di
curvatura, gli archi sono contigui, ammettono la medesima tangente e hanno
la medesima curvatura (il reciproco del raggio) nel punto di saldatura.
I parametri che modellano una NURBS sono dunque:
- il numero np dei poli o punti di controllo e il loro peso;
- il numero na degli archi o spans che compongono la curva;
- la continuità co tra gli archi nei punti di saldatura (knots);
- il grado della curva, deg.
Questi parametri sono legati tra loro dalla relazione:
np = (deg - con) na + con + 1.
Una caratteristica notevole delle NURBS è la loro capacità di descrivere
le coniche esattamente e non per approssimazione, come le altre spline. I
modellatori più recenti adottano quasi esclusivamente gli algoritmi NURBS,
con i quali sono in grado di modellare un numero ampissimo di linee e superfici
curve.
3.4 Vantaggi dell’interpolazione spline per un
metodo variazionale
Sia dato un problema variazionale definito in H 2 che richieda quindi una
classe di continuità C 1 , quale è quello della lastra di Kirchhoff, nella cui
formulazione differenziale o forte sono appunto presenti derivate del quarto
ordine. Si voglia garantire tale richiesta di continuità C 1 , ad esempio
in un problema con incognita una funzione scalare unidimensionale, utilizzando
elementi finiti con un interpolazione tradizionale, che cioè usa come
parametri solo valori della funzione (interpolazione lagrangiana) o solo valori
della funzione o di una sua derivata (interpolazione hermitiana): si dovrà
usare un elemento hermitiano cubico. Il numero di parametri globali richiesti
nel caso di discretizzazione del dominio in n elementi, è pari a 2n + 2.
Un problema variazionale definito in H 1 richiedente invece una classe di continuità
C 0 potrà essere risolto con un elemento finito lineare, che realizza
la regolarità voluta con n + 1 parametri globali. Maggiore è la regolarità
33

della funzione incognita, maggiore sarà il numero di parametri globali richiesti
e quindi il costo computazionale. In contrapposizione all’interpolazione
tradizionale (Lagrange con vincoli puri di interpolazione e Hermite con vincoli
misti di interpolazione e di regolarità) si pone l’interpolazione HC dove
alcune condizioni di regolarità vengono implicitamente imposte sopperendo
così alla necessità di un numero relativamente elevato di parametri globali.
Sono sufficienti infatti n+2 parametri globali, praticamente un parametro per
elemento (quindi tre ad esempio, nel caso di funzione a tre componenti) per
ottenere la classe di continuità C 1 . Tale costo è praticamente l’equivalente
di un’interpolazione lineare che garantisce C 0 . In tal modo già su mesh rade,
e quindi a costi computazionali ridotti, è possibile ottenere ottimi risultati.
3.5 Interpolazione HC
Il modello di discretizzazione HC è basato sull’uso dell’approssimazione Bspline
(vedi §3.2) quadratica che garantisce una continuità di classe C 1 con
l’uso di un solo parametro per elemento nel caso di una funzione incognita
unidimensionale. Il risparmio di parametri globali, già presente quindi nel
caso unidimensionale, è maggiore nel caso 2D, e ancora di più nel caso 3D.
Sia dato un intervallo reale [a, b] e si voglia definire su tale intervallo
una funzione f(x) ∈ C 1 [a, b] con relativamente pochi parametri. Tale scopo
può essere raggiunto con una particolare spline quadratica (si veda §3.2),
l’interpolazione HC presentata in [1].
Si consideri una suddivisione di [a, b] in n sottointervalli o elementi individuati
da punti equidistanti:
a ≡ x0 < x1 < ... < xn ≡ b.
Si imponga che f(x) nel generico sottointervallo sia un polinomio quadratico.
Dovranno perciò esserci per il generico elemento tre parametri. Si considerino
punti di controllo pi nei punti medi di ciascun sottointervallo. Si associ
ad ogni punto di controllo un parametro di controllo qi. In questo modo, per
un elemento interno potremo associare i 3 parametri locali al punto medio
dell’elemento stesso e a quelli dei 2 elementi adiacenti. La stessa scelta non
può essere operata per un elemento di bordo, il quale non ha dal lato esterno
del bordo un elemento adiacente: gli verrebbe a mancare quindi un
parametro di controllo. Su un elemento di bordo, invece, si sostituisce il
punto di controllo mancante con l’estremo del dominio globale connesso all’elemento
stesso, cioè il punto sul bordo lungo la congiungente il punto di
controllo mancante e il punto di controllo associato all’elemento. I punti di
34

q0
controllo globali pi, i = 1..n + 2 dovranno quindi essere posizionati nei punti
medi degli elementi e negli estremi del dominio globale (si veda Figura 3.4).
q1
q2
qi
qi+1 qn-1
p1 p2 pi pi+1 pn-1
x0=p0 x1 x2 xi-1 xi xi+1
pn
xn-2 xn-1 xn=pn+1
e1 e2 ei ei+1 en-1 en
Si avrà quindi
Figura 3.4: Costruzione dell’interpolazione HC
f(x) |(xi−1,xi)= φ1qi−1 + φ2qi + φ3qi+1
dove φ1, φ2, φ3 sono le blending functions, le funzioni di forma per l’interpolazione
spline.
Supposti noti i parametri di controllo si consideri la spezzata S che congiunge
i punti di coordinate (pi, qi). Si imponga che f(x) nel generico sottointervallo
sia un polinomio quadratico con negli estremi dell’elemento l’intersezione
della funzione con S e nell’estremo sinistro dell’elemento la tangenza
ad S. Il sistema che conduce alla definizione delle blending functions per un
generico elemento interno risulta quindi
⎧
⎪⎨
⎪⎩
f(xi−1) = 1
2 (qi−1 + qi)
f(xi) = 1
2 (qi + qi+1)
f ′ (xi−1) = qi − qi−1
che considerando f(x) quadratica definita su dominio adimensionalizzato
diventa ⎧
⎪⎨
⎪⎩
f0 − f1 + f2 = 1
2 (qi−1 + qi)
f0 + f1 + f2 = 1
2 (qi + qi+1)
f1 − 2f2 = qi − qi−1
Secondo tali condizioni si ottengono le blending functions nella variabile ξj,
per un elemento interno normalizzato (-a,a)
φ1[ξj] = 1 1
−
8 4a ξj + 1
8a2 ξ2 j
φ2[ξj] = 3 1
−
4 4a2 ξ2 j
35
qn
qn+1

φ3[ξj] = 1 1
+
8 4a ξj + 1
8a2 ξ2 j
Per elementi di bordo normalizzati (-a,a)
⎧
⎪⎨
sinistro:
⎪⎩
φ1[ξj] = 1
4
φ2[ξj] = 5
8
φ3[ξj] = 1
8
− 1
2a ξj + 1
4a 2 ξ 2 j
+ 1
4a ξj − 3
8a 2 ξ 2 j
+ 1
4a ξj + 1
8a 2 ξ 2 j
⎧
⎪⎨
destro:
⎪⎩
φ1[ξj] = 1
8
φ2[ξj] = 5
8
φ3[ξj] = 1
4
− 1
4a ξj + 1
8a 2 ξ 2 j
− 1
4a ξj − 3
8a 2 ξ 2 j
+ 1
2a ξj + 1
4a 2 ξ 2 j
Nel caso di elementi adimensionalizzati con dominio (-1/2,1/2) si ha
invece:
⎧
⎪⎨
sinistro:
⎪⎩
φ1[ξj] = 1 1
−
8 2 ξj + 1
2 ξ2 j ,
φ2[ξj] = 3
4 − ξ2 j ,
φ3[ξj] = 1 1
+
8 2 ξj + 1
2 ξ2 j .
φ1[ξj] = 1
4 − ξj + ξ 2 j ,
φ2[ξj] = 5
8
φ3[ξj] = 1
8
+ 1
2 ξj − 3
2 ξ2 j ,
+ 1
2 ξj + 1
2 ξ2 j ,
⎧
⎪⎨
destro:
⎪⎩
φ1[ξj] = 1
8
φ2[ξj] = 5
8
− 1
2 ξj + 1
2 ξ2 j ,
− 1
2 ξj − 3
2 ξ2 j ,
φ3[ξj] = 1
4 + ξj + ξ 2 j .
Quanto ottenuto può essere verificato calcolando le derivate prime delle
funzioni fei , i = 1..n, definite sugli elementi e1, e2, ...en, nei punti di interconnessione
fra gli elementi xi, i = 1..n − 1. Ovvero
f ′ ei (xi) = f ′ ei+1 (xi) = qi+1 − qi, i = 1..n − 1
e quindi che l’interpolazione HC garantisce la continuità C 1 .
Sia dato un dominio bidimensionale rettangolare discretizzato in ex x ey
elementi finiti e siano dati i parametri di controllo fpq per una funzione f. Si
ottengono interpolazioni biquadratiche locali della funzione bidimensionale
f utilizzando nove parametri di controllo fij e le blending functions φi ed ψj
f =
3
i,j=1
φiψjfij
Sia dato, invece, un dominio tridimensionale a forma di parallelepipedo
discretizzato in ex x ey x ez elementi finiti e siano dati i parametri di controllo
fpqr per la funzione f. Si ottengono interpolazioni quadratiche locali della
36

funzione tridimensionale f utilizzando 27 parametri di controllo locali fijk e
le blending functions φi, ψj ed χk
f =
3
i,j,k=1
φiψjχkfijk
Si considerino i punti di controllo xpqr posizionati nei centroidi degli elementi,
ai quali ci riferiremo come punti di controllo associati agli elementi.
Analogamente a quanto visto per il dominio unidimensioanle per un elemento
interno i suoi 27 parametri di controllo saranno associati al punto medio
dell’elemento stesso e a quelli dei 26 elementi adiacenti, ma la stessa regola
non può essere applicata ad un elemento di bordo. Infatti, per un elemento
di bordo, che, rispetto ad un elemento interno, dal lato esterno del bordo
manca di alcuni elementi adiacenti, mancherebbero alcuni punti di controllo.
Su un elemento di bordo si sostituiscono i paramatri di controllo mancanti
con dei corrispondenti sul bordo. In particolare con i punti sul bordo lungo le
congiungenti i punti di controllo mancanti con il punto di controllo associato
all’elemento 5 .
I punti di controllo globali xpqr, p = 1..ex + 2, q = 1..ey + 2, r = 1..ez + 2
per il caso 3D saranno dunque posizionati nei punti centroidi degli elementi,
nei vertici del dominio e nei punti medi dei segmenti e dei quadrati in cui
si discretizzano rispettivamente gli spigoli e le facce del contorno 6 . Analogamente
per il caso 2D i punti di controllo globali xpq, p = 1..ex+2, q = 1..ey+2
saranno posizionati nei punti medi degli elementi, nei vertici del dominio e
nei punti medi dei segmenti in cui è discretizzato il contorno.
Le interpolazioni B-spline biquadratica e triquadratica (rispettivamente
quadratica in 2 direzioni e quadratica in 3 direzioni) possono essere determinate
facendo il prodotto fra interpolazioni B-spline quadratiche per unidimensionale
nelle direzioni di riferimento. Le funzioni di forma per un elemento
interno, che è quindi interno rispetto a tutte le direzioni di riferimento (2
nel caso 2D, 3 nel caso 3D), sono uguali per ciascuna di tali direzioni tranne
che cambia la variabile indipendente che le governa. Un elemento di bordo,
invece, che può essere esterno in una direzione e interno in un’altra avrà in
generale le blending functions differenti nelle varie direzioni. Ad ogni modo,
una volta determinate le blending functions nella variabile generica xii
per i tre casi di posizione dell’elemento, e cioè, estreno sinistro, interno ed
esterno destro, potremo scriverle per ciascuna direzione modificando solo la
5 †Ci si riferisca per questo alla suddivisione in elementi finiti adimensionalizzata, che
cioè riduce il dominio, curvo o retto che sia, con mesh uniforme o no, ad un parallelepipedo
suddiviso in cubi.
6 Si veda la nota †
37

variabile indipendente che le governa. Le matrici HC che si ricavano dalle
blending function per ciascuno dei tre casi di posizione dell’elemento saranno
uguali fra una direzione e l’altra se e solo se la posizione dell’elemento in una
direzione sarà uguale all’altra.
38

Capitolo 4
Formulazione dell’elemento
HC3
4.1 Interpolazione High-Continuity
L’interpolazione ad alta continuità del campo degli spostamenti è fornita
dalle seguenti espressioni:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
u1 = 3 i,j,k=1 φi[ξ1]ψj[ξ2]χk[ξ3]w1ijk,
u2 = 3 i,j,k=1 φi[ξ1]ψj[ξ2]χk[ξ3]w2ijk,
u3 = 3 i,j,k=1 φi[ξ1]ψj[ξ2]χk[ξ3]w3ijk,
(4.1)
dove le coordinate ξi, i = 1..3 spazzano il dominio elementare unitario (nor-
malizzato su ξi = − 1 1 .. 2 2 ), w1ijk, w2ijk e w3ijk sono i parametri HC coinvolti nel
campo di interpolazione sul generico elemento e le funzioni di forma adottate
φi(ξ1), ψj(ξ2), χk(ξ3) sono definite in §3.5.
La Figura 4.1 riepiloga il caso unidimensionale e quindi il significato dei
parametri HC, che definiscono le tangenti alla funzione interpolata nei punti
estremi dell’elemento. La stessa figura mostra inoltre la posizione dei nodi
HC e il plottaggio delle funzioni di forma. Invece, la Figura 4.2 mostra una
mesh tipica su un corpo rettangolare ed i nodi coninvolti nella descrizione
del campo del generico elemento per il caso a due dimensioni. Un ulteriore
commento è necessario a proposito degli elemnti posizionati sul contorno.
Infatti, allo scopo di rendere l’imposizione delle condizioni cinematiche al
contorno più semplice, i nodi HC esterni sono translati sul contorno ∂Ω e i
relativi parametri HC assumono il significato di valori della funzione (si veda
Figura 4.2). Infine La Figura 4.3 mostra i nodi HC relativi ad un elemento
HC3.
39

domain one-dimensional
parameter ξ=—1/2ξ=1/2 ) 2 φ(ξ ) 1
1 3 1 φ(ξ ) 1 φ(ξ HC
h node HC
Figura 4.1: High continuity interpolation in one dimension. 11
1
ξ2 ξ1 h1 h2 ξ2 ξ 2 h h1 1
Figura 4.2: High continuity interpolation in two dimensions.
ξ3
ξ 1
Figura 4.3: Nodes related to the element in 3-D.
40
ξ2

L’ascissa locale ξi è legata a quella globale xi secondo:
− 1
2 ≤ ξi ≤ 1
2 , → ¯xi ≤ xi ≤ ¯xi + hi, (4.2)
dove ¯xi è l’ascissa globale corrispondente all’estremità sinistra e hi è la
lunghezza dell’i-esimo lato dell’elemento finito. Conseguentemente:
∂
(·) =
∂xi
1 ∂
(·), dxi = hidξi. (4.3)
hi ∂ξi
A questo punto, allo scopo di introdurre l’interpolazione ad alta continuità
nel funzionale (2.13), abbiamo bisogno di valutare le componenti di ∇u:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(∇u)11 = ∂u1
∂x1
(∇u)12 = ∂u1
∂x2
(∇u)13 = ∂u1
∂x3
(∇u)21 = ∂u2
∂x1
(∇u)22 = ∂u2
∂x2
(∇u)23 = ∂u2
∂x3
(∇u)31 = ∂u3
∂x1
(∇u)32 = ∂u3
∂x2
(∇u)33 = ∂u3
∂x3
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1],1 ψj[ξ2] χk[ξ3] u1ijk,
h1
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1] ψj[ξ2],2 χk[ξ3] u1ijk,
h2
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1] ψj[ξ2] χk[ξ3],3 u1ijk,
h3
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1],1 ψj[ξ2] χk[ξ3] u2ijk,
h1
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1] ψj[ξ2],2 χk[ξ3] u2ijk,
h2
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1] ψj[ξ2] χk[ξ3],3 u2ijk,
h3
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1],1 ψj[ξ2] χk[ξ3] u3ijk,
h1
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1] ψj[ξ2],2 χk[ξ3] u3ijk,
h2
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1] ψj[ξ2] χk[ξ3],3 u3ijk,
h3
Noi possiamo ora valutare l’energia elastica sull’e-simo elemento:
o, equivalentemente
(4.4)
φe = 1
Cijhk(∇u)ij(∇u)hk, (4.5)
2 Ωe
φe = 1
1
2
2 − 1
1
2
− 2
1
1
2
− 2
1
(Cijhk(∇u)ij(∇u)hk) h1h2h3dξ1dξ2dξ3. (4.6)
2
Manipolando opportunamente le quantità negli integrali, la matrice di
rigidezza dell’e-simo elemento è memorizzata sulla base delle seguenti sottomatrici:
KHC[u1ijk, u1pqr] = h2h3
h1 C1111A11[ξ1]ipA00[ξ2]jqA00[ξ3]kr+
h3h1
h2 C1212A00[ξ1]ipA11[ξ2]jqA00[ξ3]kr+
h1h2
h3 C1313A00[ξ1]ipA00[ξ2]jqA11[ξ3]kr,
KHC[u1ijk, u2pqr] = h3 C1122A10[ξ1]ipA01[ξ2]jqA00[ξ3]kr+
h3 C1212A01[ξ1]ipA10[ξ2]jqA00[ξ3]kr,
41
(4.7)
(4.8)

KHC[u1ijk, u3pqr] = h2 C1133A10[ξ1]ipA00[ξ2]jqA01[ξ3]kr+
h2 C1313A01[ξ1]ipA00[ξ2]jqA10[ξ3]kr,
KHC[u2ijk, u1pqr] = h3 C1122A01[ξ1]ipA10[ξ2]jqA00[ξ3]kr+
h3 C1212A10[ξ1]ipA01[ξ2]jqA00[ξ3]kr,
KHC[u2ijk, u2pqr] = h3h1
h2 C2222A00[ξ1]ipA11[ξ2]jqA00[ξ3]kr+
h2h3
h1 C1212A11[ξ1]ipA00[ξ2]jqA00[ξ3]kr+
h1h2
h3 C2323A00[ξ1]ipA00[ξ2]jqA11[ξ3]kr,
KHC[u2ijk, u3pqr] = h1 C2233A00[ξ1]ipA10[ξ2]jqA01[ξ3]kr+
h1 C2323A00[ξ1]ipA01[ξ2]jqA10[ξ3]kr,
KHC[u3ijk, u1pqr] = h2 C1133A01[ξ1]ipA00[ξ2]jqA10[ξ3]kr+
h2 C1313A10[ξ1]ipA00[ξ2]jqA01[ξ3]kr,
KHC[u3ijk, u2pqr] = h1 C2233A00[ξ1]ipA01[ξ2]jqA10[ξ3]kr+
h1 C2323A00[ξ1]ipA10[ξ2]jqA01[ξ3]kr,
KHC[u3ijk, u3pqr] = h1h2
h3 C3333A00[ξ1]ipA00[ξ2]jqA11[ξ3]kr+
h2h3
h1 C1313A11[ξ1]ipA00[ξ2]jqA00[ξ3]kr+
h3h1
h2 C2323A00[ξ1]ipA11[ξ2]jqA00[ξ3]kr,
dove i, j, k, p, q, r = 1..3,
⎧
⎪⎨
⎪⎩
A00[ξ1]ip
A01[ξ1]ip =
A10[ξ1]ip =
A11[ξ1]ip =
= 1
2
− 1
2
1
2
− 1
2
1
2
− 1
2
1
2
− 1
2
φi[ξ1]φp[ξ1]dξ1,
φi[ξ1]φp[ξ1],1dξ1,
φi[ξ1],1φp[ξ1]dξ1,
φi[ξ1],1φp[ξ1],1dξ1,
(4.9)
(4.10)
(4.11)
(4.12)
(4.13)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
e analoghe formule esistono per ξ2 ξ3.
Il lavoro dei carichi esterni può essere valutato seguendo la stessa procedura.
4.2 Approccio isoparametrico
Le formule precedenti sono relative a un semplice parallelepipedo. Però nelle
applicazioni pratiche è usuale avere a che fare con geometrie generiche. Per
tali casi è facile riformulare la precedente trattazione in termini di un approccio
standard isoparametrico. La geometria di un elemento finito generico può
42

essere rappresentata attraverso la seguente interpolazione
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x1 = 3 i,j,k=1 φi[ξ1]ψj[ξ2]χk[ξ3]x1ijk,
x2 = 3 i,j,k=1 φi[ξ1]ψj[ξ2]χk[ξ3]x2ijk,
x3 = 3 i,j,k=1 φi[ξ1]ψj[ξ2]χk[ξ3]x3ijk.
Quindi, introducendo la matrice Jacobiana
J =
⎛
⎜
⎝
x1,ξ1 x1,ξ2 x1,ξ3
x2,ξ1 x2,ξ2 x2,ξ3
x3,ξ1 x3,ξ2 x3,ξ3
⎞
(4.17)
⎟
⎠ , (4.18)
l’integrale di ciascuna funzione f sul dominio Ωe dell’e-simo elemento diventa
Ωe
fdx1dx2dx3 =
1/2
−1/2
1/2
−1/2
1/2
−1/2
mentre le derivate del campo degli spostamenti u è
dove
e
∇u =
J −1 =
f det(J)dξ1dξ2dξ3, (4.19)
∇u = ∇uJ −1 , (4.20)
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
è l’inversa della matrice Jacobiana.
u1,ξ1 u1,ξ2 u1,ξ3
u2,ξ1 u2,ξ2 u2,ξ3
u3,ξ1 u3,ξ2 u3,ξ3
ξ1,x1 ξ1,x2 ξ1,x3
ξ2,x1 ξ2,x2 ξ2,x3
ξ3,x1 ξ3,x2 ξ3,x3
4.3 Matrici dell’elemento
Dato un generico elemento, indichiamo con:
φi, i = 1, 2, 3 blending functions in direzione x
ψj, j = 1, 2, 3 blending functions in direzione y
χk, k = 1, 2, 3 blending functions in direzione z
⎞
⎟
⎠ (4.21)
⎞
⎟
⎠ (4.22)
(4.23)
É noto che φi, ψj, χk dipendono rispettivamente dalla posizione dell’elemento
rispetto alla direzione x, y, z. Le blending functions nella direzione generica
dipendono da dove è collocato l’elemento rispetto a tale direzione, in particolare
dal fatto che esso sia interno, sul bordo sinistro o sul bordo destro.
43

Possiamo riferirci quindi al tipo dell’elemento e in particolare a tipo x, tipo y,
tipo z, che possono assumere valori:
⎧
⎪⎨ 1, se tipo = sinistro
tipo = 2, se tipo = interno
⎪⎩
3, se tipo = destro
É noto inoltre che le blending functions nella direzione generica per un
elemento che è di un certo tipo in tale direzione, differiscono dalle blending
functions di un’altra direzione in cui l’elemento è del medesimo tipo, solo per
quanto riguarda la variabile indipendente (l’ascissa). Potremo perciò riferirci
ad un unica espressione delle blending functions che sia Φ[ii, jj] dove jj scorre
i parametri discreti di interpolazione, mentre ii sia l’indice del tipo 1 , cioè:
Si consideri l’espressione del lavoro di deformazione LD per il generico elemento
finito di dominio Ω, campo delle tensioni σ, campo degli spostamenti
u, tensore elastico Cdefg
LD =
Ω
σde∇udedΩ =
Ω
∂ud ∂uf
Cdefg dΩ (4.24)
∂xe ∂xg
e l’espressione dell’interpolazione HC del campo degli spostamenti
ud = φiψjχkwdijk
(4.25)
dove wdijk sono i parametri discreti del campo degli spostamenti.
Si prenda la funzione integranda dell’equazione (4.24) che chiameremo I
e la si manipoli sostituendo in essa la (4.25)
∂ud ∂uf
I = Cdefg
∂xe ∂xg
=
∂ud ∂uf
ΣfgΣde Cdefg
∂xe ∂xg
= ΣfgΣde Cdefg Σijk(φiψjχk),ewdijk Σpqr(φpψqχr),gwfpqr (4.26)
Secondo l’uguaglianza energetica fra la scrittura di LD al continuo e
quella al discreto:
LD = σde∇udedΩ = wKew
Ω
1 Useremo nel seguito questa notazione che richiama gli array di alcuni linguaggi
di programmazione. a[i1, i2, ..., in] indica la cella dell’array a individuata dagli indici
i1, i2, ..., in.
44

usando la (4.24) e la (4.26) si perviene all’espressione della generica cella
Ke[dijk, fpqr] di Ke, che esprime la relazione fra la componente di spostamento
d del nodo ijk e la componente di spostamento f del nodo pqr:
Ke[dijk, fpqr] = ΣgΣeCdefg (φiψjχk),e(φpψjχk),gdΩ (4.27)
Ω
con
e
= ΣgΣeCdefg φi,eφp,gψj,eψq,gχk,eχr,gdΩ
Ω
= ΣgΣeCdefg
ξΩ ηΩ
φi,eφp,gψj,eψq,gχk,eχr,gdetJdξdηdζ
ζΩ
= ΣgΣeCdefgdetJ φi,eφp,gdξ ψj,eψq,gdη χk,eχr,gdζ
ξΩ
ηΩ
ζΩ
Ix = Ax[π(e, 1), π(g, 1), i, p]ξ π(e,1)+π(g,1)
,x
Iy = Ay[π(e, 2), π(g, 2), j, q]η π(e,2)+π(g,2)
,y
Iz = Az[π(e, 3), π(g, 3), k, r]ζ π(e,3)+π(g,3)
,z
π(i1, i2) =
Ax = A[tipo x]
Ay = A[tipo y]
Az = A[tipo z]
A[ii, o1, o2, i, p] =
Ix
1 se i1 = i2
0 altrimenti
ξΩ
Iy
Iz
(4.28)
Φ[ii, i],o1Φ[ii, p],o2dξ (4.29)
Analogamente, si può determinare la matrice delle masse Me. Si consideri
l’espressione dell’energia cinetica Ec per il generico elemento finito di dominio
Ω, campo delle velocità ˙u, densità di massa ρ
Ec = 1
ρ ˙u
2 Ω
T ˙udΩ (4.30)
Si consideri la generica componente di velocità ˙ug data da:
˙ug = Σijkφiψjχk ˙wgijk
dove ˙wgijk sono i parametri discreti del campo di velocità.
Sostituendo la (4.31) nella (4.30) si ottiene
(4.31)
Ec = 1
ρ ˙u
2 Ω
T ˙udΩ = 1
2 ρ
δdfΣdΣfΣijkφiψjχk ˙wdijk
Ω
Σpqrφpψqχr ˙wfpqrdΩ
(4.32)
45

Secondo l’uguaglianza energetica fra la scrittura di Ec al continuo e quella
al discreto
Ec = 1
ρ ˙u
2 Ω
T ˙udΩ = 1
2 ˙wT Me ˙w (4.33)
usando la (4.32) si perviene all’espressione della generica cella Me[dijk, fpqr]
di Me, che esprime la relazione fra la componente di spostamento d del nodo
ijk e la componente di spostamento f del nodo pqr:
Me[dijk, fpqr] = δdfρAx[0, 0, i, p]Ay[0, 0, j, q]Az[0, 0, k, r]detJ (4.34)
Analogamente può essere determinato il contributo pt e al vettore dei termini
noti dovuto ai carichi distribuiti sul contorno. Si consideri l’espressione
del lavoro dei carichi LC∂Ωt distribuiti sul contorno ∂Ωt di un elemento di
dominio Ω, carichi distribuiti ¯t, campo di spostamento u
LC∂Ωt = ¯tudΩ (4.35)
∂Ωt
Sostituendo la (4.25) nella (4.35) si ottiene
LC∂Ωt =
∂Ωt
¯tudΩ =
∂Ωt
Σd ¯tduddΩ
=
∂Ωt
Σd
¯tdΣijkφiψjχkwdijkdΩ (4.36)
Secondo l’uguaglianza energetica fra la scrittura di LC∂Ωt al continuo e
quella al discreto
LC∂Ωt =
(4.37)
¯tud∂Ωt = w
∂Ωt
T p t e
usando la (4.36) si perviene all’espressione della generica cella pt e[dijk] di
pe, che esprime il contributo al termine noto legato al grado di libertà d del
nodo ijk. A d esempio se il contorno ∂Ωt coincide con la faccia Fy+ positiva
lungo ξ2 dell’elemento adimensionalizzato, si ha
dove
p t e[dijk] =
Fy+
= ψj | ξ2= 1
2
¯tdφiψjχkd∂Ωt
1
2
− 1
2
= Φ[3, j] | ξ2= 1
2
Ap[ii, i] =
1
2
− 1
2
¯tdφi(ξ1)χk(ξ3)x1,ξ1x3,ξ3dξ1dξ3
¯tdx1,ξ1x3,ξ3Ap[tipo x, i]Ap[tipo z, k]
1
2
− 1
2
46
Φ[ii, i]dξ1

Capitolo 5
Utilizzo del codice ABAQUS R○
ABAQUS R○ è una suite di programmi di simulazione ingegneristica della compagnia
Simulia R○ . ABAQUS consiste di due principali prodotti d’analisi:
ABAQUS/Standard, codice per risolvere problematiche FEM di tipo implicito
in ambito statico, dinamico, termico ed ABAQUS/Explicit codice per
l’analisi del transitorio dinamico mediante l’approccio esplicito. Nell’ambito
del presente lavoro è stato usato ABAQUS/Standard. Tale codice d’analisi
si basa su una vasta libreria di elementi finiti, mono-, bi- e tri-dimensionali,
con i quali è possibile descrivere dal punto di vista geometrico e meccanico
qualsiasi tipo di solido. Le possibilità di analisi, da articolare sulla base di
step di carico assegnati dall’utente, comprendono l’analisi standard tensionispostamenti,
diversi tipi di analisi dinamica, analisi di buckling e problemi
accoppiati. L’utilizzo di ABAQUS/Standard prevede tre fasi, abbastanza
standard in ambito FEM: il preprocessing (definizione del modello), la simulazione
(esecuzione dell’analisi) e il postprocessing (valutazione dei risultati).
Il modello per l’analisi con ABAQUS/Standard comprende almeno le seguenti
informazioni: la descrizione geometrica con relativa discretizzazione, le
proprietà degli elementi (dati sui materiali, carichi e condizioni al contorno),
il tipo di analisi e le informazioni da fornire in fase d’output.
Per eseguire un’analisi di ABAQUS occorre definire un analysis job, che
a sua volta viene definito a partire da un modello. Per la costruzione del
modello si può utilizzare sia l’approccio Input file - Usage sia l’approccio
ABAQUS/CAE - Usage. Il primo prevede la definizione del modello mediante
la scrittura del file d’input; tale preocedura consente un controllo diretto
delle funzionalità del programma. Il secondo prevede la definizione del modello
tramite l’interfaccia grafica, cioè l’ambiente completo di sviluppo. L’
esecuzione di un analysis job definito su un modello contenuto in un input
file può essere fatta o tramite ABAQUS command winow o tramite lo stesso
ABAQUS/CAE.
47

5.1 Elementi solidi 3D di ABAQUS R○
Gli elementi solid o continuum sono gli elementi di volume standard di
ABAQUS. Fra di essi distinguiamo:
• One-dimensional solid (link) element
• Two-dimensional solid element
• Three-dimensional solid element
• Cylindrical solid element
• Axisymmetric solid element
La libreria di ABAQUS/Standard degli elementi solidi include elementi
ad interpolazione del primo ordine (lineari) ed elementi a interpolazione del
secondo ordine (quadratici) in una, due e tre dimensioni. Triangoli e quadrilateri
sono disponibili nel caso 2D; e tetraedri, prismi triangolari e esaedri
(bricks) sono disponibili per il caso 3D. Inoltre sono disponibili elementi a
integrazione ridotta, ibridi e a modi incompatibili.
Negli elementi del primo ordine a deformazioni piane, a tensioni piane generalizzati,
quadrilateri assialsimmetrici, solidi esaedrali e cilindirci l’operatore
di deformazione fornisce deformazione volumetrica costante attraverso l’elemento.
Tale deformazione costante previene il mesh locking quando la risposta
del materiale è approssimativamente incompressibile. Gli elementi del secondo
ordine forniscono accuratezza superiore in ABAQUS/Standard rispetto
agli elementi del primo ordine per problemi regolari che non coinvolgono
condizioni di contatto complesse, impatto, o gravi distorsioni dell’elemento.
Essi colgono le concentrazioni di tensione più efficacemente e sono migliori
per modellare caratteristiche geometriche: essi possono modellare una superficie
curva con pochi elementi. Infine gli elementi del secondo ordine molto
efficaci nei problemi prevalentemente flessionali. Gli elementi trinagolari e
tetraedrali del primo ordine dovrebbero essere evitati quanto più possibile
nei problemi di analisi delle tensioni; gli elementi sono eccessivamente rigidi
e mostrano lenta convergenza all’infittimento della mesh, il che è specialmente
un problema con gli elementi tetraedrali del primo ordine. Se essi
sono richiesti, una mesh estremamante raffinata potrebbe essere necessaria
per ottenere risultati di sufficiente accuratezza. nell’ABAQUS/Standard gli
elementi triangolari e tetraedrali modificati dovrebbero essere usati nei problemi
di contatto con la relazione di contatto duro di default perchè le forze di
contatto siano consistenti con la direzione di contatto. Questi elementi inoltre
si comportano meglio nelle analisiche coinvolgono impatto (perchè essi hanno
48

una matrice delle masse concentrate), nelle analisi che coinvolgono risposta
del materiale approssimativamente incompresibile e nelle analisi richiedenti
grandi distorsioni dell’elemento, quali la simulazione di alcuni processi di
manifattura o la risposta di componenti in gomma.
L’integrazione ridotta usa un’integrazione a ordine minore per formare la
rigidezza dell’elemento. la matrice delle masse e i carichi distribuiti usano
l’integrazione completa. L’integrazione ridotta riduce il tempo di calcolo,
specialmente nel caso di tre dimensioni. Ad esempio, l’elemento C3D20 ha
27 punti di integrazione, mentre il C3D20R ne ha soli 8; perciò l’assemblaggio
degli elementi è per il C3D20 approssimativamente 3.5 volte più
costoso rispetto al C3D20R. Nell’ABAQUS/Standard si può scegliere fra
’integrazione piena o ridotta per gli elementi quadrilateri e esaedrali (brick).
Nell’ABAQUS/Explicit sono disponibili solo elementi continui quadrilateri o
esaedrali del primo ordine a integrazione ridotta; tali elementi sono inoltre
riferiti come elementi a deformazione uniforme o deformazione centroide con
controllo a clessidra. Elementi a integrazione ridotta del secondo ordine nell’ABAQUS/Standard
generalmente producono risultati più accurati rispetto
ai corrispondenti elementi a integrazione completa. Tuttavia, per gli elementi
del primo ordine l’accuratezza raggiunta con l’integrazione piena rispetto a
quella ridotta è largamente dipendente dalla natura del problema.
Gli elementi triangolari e tetraedrali sono geometricamente versatili e
sono usati in molti algoritmi di meshatura automatica. ‘E molto conveniente
meshare una forma complessa con triangoli o tetraedri, e gli elementi triangolari
e tetraedrali modificati del secondo ordine (CPE6, CPE6M, C3D10,
C3D10M, etc.) in ABAQUS sono adatti per uso generale. Tuttavia, una
buona mesh di elementi esaedrali di solito fornisce una soluzione di equivalente
accuratezza a costo minore. Quadrilateri ed esaedri hanno migliore
grado di convergenzadei trinagoli e tetraedri, e la sensibilità all’orientamento
della mesh in mesh regolari non è un problema. Tuttavia, triangoli e tetraedri
sono meno sensibili alla forma dell’elemento iniziale, mentre i quadrilateri e
gli esaedri del primo ordine si comportano meglio se la loro forma è approssimativamente
rettangolare. Gli elementi diventano molto meno accurati quando
essi sono inizialmente distorti. I trinagoli e tetraedri del primo ordine sono
di solito eccessivamente rigidi ed mesh estermamente raffinate sono richieste
per ottenere risultati accurati. Come menzionato precedentemente, triangoli
e tetraedri del primo ordine a integrazione piena nell’ABAQUS/Standard anche
mostrano locking volumetrico nei problemi incompressibili. Come regola,
tali elementi non dovrebbero essere usati tranne che come elementi di riempimento
in aree critiche. Perciò conviene cercare di usare elementi ben formati
nelle regioni di interesse.
49

Gli elementi ibridi sono intesi principalmente per uso con comportamento
di materiale incompressibile e quasi incompressibile; tali elementi sono
disponibili solo nell’ABAQUS/Standard. Quando la risposta del materiale
è incompressibile, la soluzione a un problema non può essere ottenuta in
termini della sola storia di spostamento, poichè una pressione puramente
idrostatica può essere aggiunta senza cambiare gli spostamenti.
Gli elementi a modi incompatibili (CPS4I, CPE4I, CAX4I, CPEG4I, e
C3D8I e i corrispondenti elementi ibridi) sono elementi del primo ordine che
sono arricchiti da modi incompatibili per accrescere il loro comportamento
flessionale; tali elementi sono disponibili solo nell’ABAQUS/Standard. Oltre
ai gradi di libertà di spostamento standard, modi di deformazione incompatibile
sono aggiunti ingternamente agli elementi. L’effetto principale di questi
modi è eliminare le tensioni di taglio parassite che rendono la risposta degli elementi
con spostamenti del primo ordine regolari troppo rigidi nella flessione.
Inoltre, tali modi eliminano l’irrigidimento artificiale dovuto all’effetto Poisson
nella flessione (che è reso manifesto negli elementi a spostamenti regolari
da una variazione lineare della tensione perpendicolarmente alla direzione di
inflessione). Negli elementi non ibridi - eccetto che per l’elemento a tensioni
piane, CPS4I - modi incompatibili addizionali sono aggiunti per prevenire il
locking degli elementi con comportamento del materiale approssimativamente
incompressibile. Per materiali a comportamento pienamente incompressibile
devono essere usati gli elementi ibridi corrispondenti. A causa dei gradi di
libertà interni aggiunti dovuti ai modi incompatibili (4 per CPS4I; 5 per
CPE4I, CAX4I, e CPEG4I; e 13 per C3D8I), tali elementi sono abbastanza
più costosi degli elementi a spostamento del primo ordine regolare; tuttavia,
essi sono significativamente più economici degli elementi del secondo ordine.
Gli elementi a modi incompatibili usano l’integrazione completa.
Nella libreria di ABAQUS degli elementi solidi 3D di tipo tensioni/spostamenti
sono disponibili:
C3D8 8-node linear brick
C3D8H 8-node linear brick, hybrid with constant pressure
C3D8I 8-node linear brick, incompatible modes
C3D8RH 8-node linear brick, reduced integration with hourglass control,
hybrid with constant pressure
C3D20 20-node quadratic brick
C3D20H 20-node quadratic brick, hybrid with linear pressure
50

C3D20RH 20-node quadratic brick, reduced integration, hybrid with linear
pressure
5.2 ABAQUS R○ User-defined elements
ABAQUS offre la possibilità all’utente di definire i propri elementi finiti da
utilizzare nelle analisi. Grazie a questa estensione delle capacità del software
è stato possibile implementare l’elemeto finito HC3 ed eseguire delle
sperimentazioni numeriche sul suo comportamento in alcuni test.
Gli elementi definiti dall’utente disponibili in ABAQUS possono essere elementi
finiti nel senso usuale di rappresentare una parte geometrica del modello
e possono essere lineari o non lineari. Un analysis job che usi user-defined
element può essere definito solo tramite Input file Usage (non è possibile da
ABAQUS/CAE definire e invocare un elemento di tipo user-defined). Gli
elementi user-defined possono essere di tipo linear o di tipo general. Quelli di
tipo linear forniscono le matrici dell’elemento, o tramite la lettura di esse da
un ABAQUS/Standard results file 1 , o tramite la scrittura diretta della loro
espressione numerica nell’input file 2 . Per usare un elemento general userdefined
in un analysis job occorre disporre del file sorgente o del file oggetto
relativi alla subroutine UEL in cui preventivamente si siano implementati
il contributo locale allo jacobiano e il contributo locale al residuo, per le
varie procedure di soluzione. Inoltre si dovrà definire e invocare l’elemento
nell’input file. L’invocazione di un elemento definito dall’utente all’interno
dell’input file (che avviene quando si definisce, all’interno del modello, un
elemento finito del tipo definito dall’utente) avviene allo stesso modo con
cui viene invocato un elemento predefinito di ABAQUS: vale a dire, che
nella definizione dell’elemento è sufficiente specificare l’elemento tipo, il numero
dell’elemento e i nodi connessi ad esso. Il tipo di elemento si specifica
tramite la chiave (element type key) associata ad esso, che per gli elementi
nativi di ABAQUS è predefinita, mentre per gli elementi user-defined deve
essere indicata nella definizione dell’elemento all’interno dell’input file. Nella
definizione dell’elemento, oltre all’element type key devono essere specificati
i gradi attivi dell’elemento e l’ordinamento di essi, che saranno poi assunti
nell’implementazione contenuta nella UEL subroutine.
1 Per questa alternativa, serve la element matrix output che è disponibile solo per
elementi senza nodi interni. L’HC3 non può essere implementato con questa strada.
2 Tale alternativa può essere usata per implementare l’HC3 ma non offre un approccio
conveniente, perchè per definire un singolo modello, si richiederebbe la determinazione
delle matrici fuori da ABAQUS, e per un modello con diversi valori di geometria e/o
caratteristiche materiali, se ne richiederebbe un’altra.
51

Per usare uno general user-defined element di ABAQUS occorre utilizzare
la user subroutine interface di ABAQUS. La user subroutine interface
di ABAQUS consente all’utente di scrivere delle procedure che gli servono
per estendere le capacità di ABAQUS. La User subroutine interface
di ABAQUS è scritta nel linguaggio di programmazione Fortran, tuttavia
è possibile scrivere le user subroutine non solo in Fortran ma anche in altri
linguaggi quali il C++ (linguaggio generalmente usato per ottenere alte
prestazioni computazionali), con il vincolo però che il codice sia invocabile
da Fortran.
52

Capitolo 6
Introduzione alla
sperimentazione numerica
I risultati numerici riportati nel capitolo successivo sonon stati ottenuti effettuando
alcune analisi utilizzando sia l’elemento HC qui proposto ed implementato
sia elementi appartenenti alla libreria di ABAQUS. In totale sono
state effettuate quattro analisi: due di tipo statico e due di tipo dinamico
con il calcolo delle frequenze naturali.
Le sperimentazioni numeriche sono state effettuate variando il livello di
nfittimento delle mesh utilizzate al fine di evidenziare le caratteristiche di
convergenza dell’elemento proposto confrontandole con quelle degli elementi
standard.
Il codice ABAQUS è stato utilizzato, in ambiente Windows, nella versione
Standard con Input-file Usage 1 . Per ogni test i file di input sono stati creati
con un apposito codice scritto in C++, che ne ha permesso la generazione
automatica. Gli analysis job associati ai singoli input file sono stati lanciati
medianti uno script che li ha eseguiti automaticamente uno dopo l’altro. Gli
script per il processing, sono stati scritti secondo la ABAQUS scripting
interface, che è un’estensione del linguaggio pseudo-compilato o-o Python.
Il file .obj da legare alla procedura di escuzione di ABAQUS per usare
l’implementazione dell’elemento finito HC3 è stato compilato con Ms Visual
Studio C++. Per il post processing è stato usato un programma in C++:
ABAQUS infatti offre anche la C++ Application Programming Interface
per la lettura e scrittura da ODB, in alternativa alla ABAQUS Scripting
Interface, a quegli utenti che richiedono alte prestazioni.
E’ opportuno far notare che, nel caso degli elementi finiti HC3, i gradi di
libertà dei modelli creati non sono spostamenti, ma parametri di controllo.
1 In particolare è stata la release 6.6-1.
53

Perciò ad ABAQUS sono stati passati come nodi, gli HC nodes e come matrici
del problema, quelle reative ai parametri di controllo. Anche le condizioni
di vincolo sul contorno del dominio sono state dettate sulla base di questo:
dato un parallelepipedo, per la faccia vincolata nella direzione di traslazione
x sono stati annulati tutti i parametri di controllo associati a tale faccia e
tale direzione. In questa ottica, quando ABAQUS fornisce la soluzione del
problema, non ci sta fornendo degli spostamenti, ma i parametri di controllo.
Con un opportuno post-processing può essere calcolata l’effettiva soluzione
in termini di spostamenti, deformazioni e tensioni.
6.1 Implementazione HC3 in ABAQUS
Per l’implementazione dell’HC3 nel codice ABAQUS è stata scritta una user
subroutine UEL in linguaggio C++. Per compilare e linkare la user subroutine
sono serviti opportuni compilatori C++ e Fortran, in particolare è stato
necessario installare sulla macchina Intel Visual Fortran 8.1 e Microsoft Visual
C++ .NET 2003 (Version 7.1). La scrittura della procedura UEL in C++
anzichè in Fortran (linguaggio della ABAQUS User Subroutine Interface) 2 ha
comportato un livello addizionale di complessità alla fase di programmazione.
L’ABAQUS On Line Support infatti raccomanda di scrivere le proprie user
subroutine in Fortran. La procedura di chiamata di una C++ function
da un’applicazione Fortran è machine dependent (dipende dalla piattaforma
e dal compilatore) e richiederebbe un’ esperta conoscenza delle convenzioni
dei compilatori e dei sistemi operativi. Fra gli argomenti che devono0 essere
compresi ci sono:
• corrispondenza fra gli external C++ names e gli external Fortran names,
• corrispondenza fra i C++ data types e i Fortran data types,
• convenzioni per le chiamate di procedure inter-language.
Nella user subroutine scritta per l’implementazione dell’HC3 sono quindi
state adottate opportune accortezze, fra cui ad esempio:
• è stata adottata la convenzione di chiamata stdcall (quella che si è
rivelata adatta per la macchina usata per le sperimentazioni),
• sono stati usati solo puntatori (poichè in Fortran le variabili sono
passate tutte per riferimento e non per valore),
2 Il C++ in generale offre migliore efficienza nelle prestazioni rispetto al Fortran.
54

• sono stati considerati gli array come monodimensionali ordinati per
colonne (poichè è così che avviene il loro storage in Fortran).
Nel seguito viene riportata parte della user subroutine, AbHC3.cpp, scritta
per l’implementazione dell’ elemento HC3 in ABAQUS. In particolare la
parte riportata riguarda l’assemblaggio della matrice di rigidezza.
#define HKS NT
#ifndef FOR C H
#define FOR C H
#if defined FOR TRAIL
#define FOR NAME(lc name,uc name) lc name ##
#define CALL NAME(lc name,uc name) lc name ##
...
#elif defined HKS NT
#define FOR NAME(lc name,uc name) stdcall uc name
#define CALL NAME(lc name,uc name) uc name
...
#endif
#include
#include
#include
#include
extern C void FOR NAME(uel, UEL)(double* pRhs, double* pAmatrx,
double* pSvars, double* pEnergy, int* pNdofel, int* pNrhs, int* pNsvars,
double* pProps, int* pNprops, double* pCoords, int* pMcrd, int* pNnode,
double* pU, double* pDu, double* pV, double* pA, int* pJtype, double* pTime,
double* pDtime, int* pKstep, int* pKinc, int* pJelem, double* pParams,
int* pNdload, int* pJdltyp, double* pAdlmag, double* pPredef, int* pNpredf,
int* pLflags, int* pMlvarx, double* pDdlmag, int* pMdload, double* pPnewdt,
int* pJprops, int* pNjprop, double* pPeriod)
{
int nr, nc, dr, dc, n = 3, gdlCinem = 3;
if(pLflags[2]==1)//normal Implicit Time Incrementation
{
if( (pLflags[0]==1) | (pLflags[0]==2) )// static
{
55

for(int i=0; i

...
}
dr = 2; dc = 3;
pAmatrx[ nr+(dr-1)*n*n*n +(*pNdofel)*(nc+(dc-1)*n*n*n ) ]
= h[0]*C2233*A00[xi[0]][i][p]*A10[xi[1]][j][q]*A01[xi[2]][k][r]
+ h[0]*C2323*A00[xi[0]][i][p]*A01[xi[1]][j][q]*A10[xi[2]][k][r];
//
// contributo u3ijk u3pqr
//
dr = 3; dc = 3;
pAmatrx[ nr+(dr-1)*n*n*n +(*pNdofel)*(nc+(dc-1)*n*n*n ) ]
= h231*C1313*A11[xi[0]][i][p]*A00[xi[1]][j][q]*A00[xi[2]][k][r]
+ h312*C2323*A00[xi[0]][i][p]*A11[xi[1]][j][q]*A00[xi[2]][k][r]
+ h123*C3333*A00[xi[0]][i][p]*A00[xi[1]][j][q]*A11[xi[2]][k][r];
// contributo u3ijk u1pqr
dr = 3; dc = 1;
pAmatrx[ nr+(dr-1)*n*n*n +(*pNdofel)*(nc+(dc-1)*n*n*n ) ]
= h[1]*C1133*A01[xi[0]][i][p]*A00[xi[1]][j][q]*A10[xi[2]][k][r]
+ h[1]*C1313*A10[xi[0]][i][p]*A00[xi[1]][j][q]*A01[xi[2]][k][r];
// contributo u3ijk u2pqr
dr = 3; dc = 2;
pAmatrx[ nr+(dr-1)*n*n*n +(*pNdofel)*(nc+(dc-1)*n*n*n ) ]
= h[0]*C2233*A00[xi[0]][i][p]*A01[xi[1]][j][q]*A10[xi[2]][k][r]
+ h[0]*C2323*A00[xi[0]][i][p]*A10[xi[1]][j][q]*A01[xi[2]][k][r];
6.2 Test in campo dinamico
I test 3.a e 3.b sono tratti dall’articolo [4]. In tale articolo viene trattata
l’analisi delle vibrazioni libere di piastre rettangolari semplicemente appoggiate
con spessore qualsiasi. L’analisi condotta si basa sulla teoria lineare
elastica tridimensionale con ipotesi di piccole deformazioni. Lo scopo è
portare avanti la qualità della ricerca oltre quella fornita dalle teorie approssimate
2D e 3D della piastra, ricorrendo ad un’analisi tridimensionale esatta.
Sia le piastre sottili che quelle spesse sono largamente usate nelle strutture
meccaniche, civili e aerospaziali.Perciò la conoscenza del loro comportamento
in caso di vibrazioni libere è molto importante per i progettisti srtutturali.
Nella teoria delle piastre classica (classical plate theory, CPT), si assume che i
segmenti retti originariamente normali al piano medio della piastra rimarran-
57

no retti e normali dopo la deformazione (ipotesi di normalità di Kirchhoff).
Tale assunzione implica che tutte le deformazioni a taglio trasversali siano
nulle nella piastra. Tuttavia è ben noto che la deformazione a taglio diventa
sempre più importante all’aumentare del rapporto spessore-campata della
piastra. Inoltre, quest’effetto andrebbe considerato quando una maggiore
accuratezza dei modi o delle risposte è richiesta, anche per piastre sottili.
Rilasciando l’ipotesi di normalità, Mindlin et al. (1956), propose la cosidetta
teoria della deformazione a taglio del primo ordine (first-order shear deformation
theory, FSDT) per piastre moderatamente spesse. Il segmento retto
originariamente normale ora diventa un segmento curvo che è strettamente
approssimato in un senso di media da un segmento retto non normale, e come
risultato, non solo lo spostamento, ma anche le rotazioni sono richieste per
descrivere la deformazione della piastra. Un fattore di correzione a taglio κ
è quindi introdotto per compensare gli errori risultanti dall’approssimazione
fatta sulla distribuzione di deformazione a taglio non uniforme. Molti valori
del fattore di correzione a taglio κ sono stati suggeriti. Per esempio,
Reissner (1945) ha usato un valore di 5/6. Ci si dovrebbe rendere conto
che quando si ha a che fare con piastre composite o altamente ortotrope,
teorie di deformazione a taglio di ordine superiore possono essere necessarie
in luogo di teorie del primo ordine perchè queste ultime potrebbero essere
inadeguate. Le teorie di ordine superiore descrivono non solo le deformazioni
a taglio trasversali, ma anche una variazione parabolica di esse attraverso
lo spessore, e conseguentemente, non c’è bisogno di usare coefficienti di correzione
a taglio per il calcolo delle tensioni a taglio. Questo miglioramento
estende il modello per descrivere piastre relativamente spesse quando lo spessore
può essere tanto grande quanto la metà della più piccola dimensione in
pianta della piastra. Le teorie della piastra 2D offrono una manipolazione
matematica relativamente semplice nelle implementazioni analitiche o computazionali.
Esse riducono le dimensioni del problema della piastra (e quindi
la dimensione del determinante dell’equazione agli autovalori) da tre a due
indirizzando le quantità di interesse, come gli sforzi membranali, i momenti
flettenti, e gli sforzi di taglio, in termini di certe medie sugli spostamenti
attraverso la dimensione più piccola, cioè lo spessore. Queste semplificazioni
sono inerentemente erronee, e perciò possono portare a risultati irrealistici
per piastre relativamente spesse.
In contrasto alle teorie 2D, nessuna assunzione è fatta nella teoria elastica
tridimensionale che, non solo, fornisce soluzioni realistiche, ma inoltre tira
fuori le caratteristiche fisiche delle piastre. Le soluzioni elastiche tridimensionali
perciò forniscono una base reale per stimare le soluzioni delle teorie
2D. Soluzioni discendenti dalla teoria esatta elastica tridimensionale sono diventate
eminenti negli anni recenti. Questo è dovuto al rapido avanzamento
58

delle industrie contemporanee verso applicazioni ingegneristiche ad alta precisione,
che acquista previsioni più accurate dei comportamenti dei sistemi
meccanici. Modelli stabiliti basati sulla teoria elastica tridimensionale per
problemi in meccanica strutturale hanno molti vantaggi comparativi sulle
teorie delle piastre semplificate e raffinate. Uno dei vantaggi ovvii è che gli
effetti delle deformazioni a taglio trasversali, le inerzie rotatorie e il comportamento
nel piano (quali il moto tagliante lungo lo spessore e quello torcente
lungo lo spessore) sono inerentemente spiegati nella formulazione. Ne risulta
che nell’analizzare la risposta in caso di vibrazioni delle piastre spesse elastiche,
il metodo estrae il completo spettro di vibrazione senza nessun modo
mancante.
In questo contesto la soluzione in forma chiusa del problema agli autovalori
delle piastre rettangolari semplicemente appoggiate, Srinvas et al.
(1970), Gentilini and Viola (2002), Genyilini et al. (2002), assume una grande
importanza nella dinamica delle vibrazioni.
6.2.1 Formulazione teoretica di una soluzione esatta
tridimensionale
Si consideri la configurazione geometrica di una piastra rettangolare omogenea
e isotropa mostrata in Figura 6.1.
h
x 1
a
x 3
Figura 6.1: Dimensioni e geometria di una piastra rettangolare
59
b
x 2

La geometria e le dimensioni della piastra sono definite rispetto a un
sistema cartesiano (O : x, y, z)), la cui origine è in un vertice della piastra e gli
assi sono paralleli agli spigoli. Le componenti di spostamento corrispondenti
a un generico punto sono descritte nel vettore:
u(x, y, x, t) = { u(x, y, z, t) v(x, y, z, t) w(x, y, z, t) } T
Secondo la teoria tridimensionale, le equazioni del moto, senza considerare
le forze di massa, sono, (vedi Gentilini and Viola (2002)):
dove
G∇ 2 u + (λ + G)∇divu = ρ ∂2 u
∂t 2
λ = 2Gν
, G =
(1 − 2ν)
E
2(1 + ν) ,
(6.1)
E è il modulo di Young, ν è il coefficiente di Poisson e ρ è la densità di
massa. Per una piastra soggetta a vibrazioni libere, le sue componenti di
spostamento periodiche possono essere espresse in termini delle funzioni di
ampiezza di spostamento come segue:
u(x, y, z, t) = U(x, y, z)e iωt , (6.2)
v(x, y, z, t) = V (x, y, z)e iωt , (6.3)
w(x, y, z, t) = W (x, y, z)e iωt , (6.4)
where ω indica la frequenza naturale della piastra. Le funzioni di ampiezza
di spostamento sono riunite nel seguente vettore:
U(x, y, z) = [ U(x, y, z) V (x, y, z) W (x, y, z) ] T
e la (6.1) può essere scritta come:
∇ 2 U + 1
1 − 2ν ∇divU + ρω2U G
= 0 (6.5)
Le condizioni al contorno per una piastra semplicemente appoggiata possono
essere espresse come:
σx = 0, v = 0, w = 0 per x = 0, a, (6.6)
σy = 0, u = 0, w = 0 per y = 0, b. (6.7)
Per semplicità e convenienza nella formulazione matematica, viene introdotto
il seguente sistema di ccordinate adimensionalizzato :
X = x y z
, Y = , Z =
a b h .
60

Le condizioni al contorno (6.6) e (6.7) sono soddisfatte imponendo, (vedi
Srinivas et al. (1970)):
U(X, Y, Z) = hΣ ∞ m=1Σ ∞ n=1Φ(Z)cosmπXsinnπY,
V (X, Y, Z) = hΣ ∞ m=1Σ ∞ n=1Ψ(Z)sinmπXcosnπY,
W (X, Y, Z) = hΣ ∞ m=1Σ ∞ n=1χ(Z)sinmπXsinnπY
(6.8)
dove m ed n sono numeri naturali. Imponendo:
M = mπh nπh
, N = ,
a b
g =
(6.9)
√ M 2 + N 2
ρh
, λsr = ω
2
,
G
(6.10)
D = ∂
∂Z , D2 = ∂2
,
∂Z 2 (6.11)
e sostituendo le (6.8) nelle (6.5), otteniamo la seguente equazione matriciale:
⎡
⎢
⎣
D 2 + λ 2 sr − g 2 −
− MN
1−2ν
− MD
1−2ν
M 2
1−2ν
− MN
1−2ν
D 2 + λ 2 sr − g 2 −
− ND
1−2ν
N 2
1−2ν
La soluzione non banale di (6.12) produce
⎧
⎪⎨
⎪⎩
Φ(Z)
Ψ(Z)
χ(Z)
⎫
⎪⎬
⎪⎭ =
⎡
⎢
⎣
rM −rM N N M M
rN −rN −M −M N N
g 2 g 2 0 0 s −s
MD
1−2ν
ND
1−2ν
D2 + λ2 sr − g2 + D2
1−2ν
⎧
Ae
⎤
⎪⎨
⎥
⎦
⎪⎩
rZ
Ke−rZ BerZ Re−rZ CesZ Se−sZ ⎫
⎪⎬
⎪⎭
⎤ ⎧
⎪⎨ ⎥
⎦ ⎪⎩
(6.12)
(6.13)
dove A, K, B, R, C, S sono sei costanti arbitrarie ed r, s possono essere
espressi nella forma:
r = g2 − λ2
sr, s = g2 − λ2sr(1 − 2ν)
(6.14)
2 − 2ν
Usando la (6.13), le relazioni tensioni-spostamenti e la (6.8) si ottengono
le seguenti espressioni per le componenti di tensione:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
σx
σy
σz
τxy
τxz
τyz
⎫
⎪⎬
= GΣ ∞ m=1Σ ∞ ⎪⎨
n=1
⎪⎭
⎧
⎪⎩
61
σ ∗ xsinmπXsinnπY
σ ∗ ysinmπXsinnπY
σ ∗ zsinmπXsinnπY
τ ∗ xycosmπXcosnπY
τ ∗ xzcosmπXsinnπY
τ ∗ yzsinmπXcosnπY
⎫
⎪⎬
⎪⎭
Φ(Z)
Ψ(Z)
χ(Z)
⎫
⎪⎬
⎪⎭ =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0
0
0
⎫
⎪⎬
⎪⎭

dove:
dove
⎡
⎢
Λ = ⎢
⎣
⎧
⎪⎨
⎪⎩
σ ∗ x
σ ∗ y
σ ∗ z
τ ∗ xy
τ ∗ xz
τ ∗ yz
⎫
⎪⎬ ⎪⎨
= Λ
⎪⎭
⎧
⎪⎩
Ae rZ
Ke −rZ
Be rZ
Re −rZ
Ce sZ
Se −sZ
⎫
⎪⎬
⎪⎭
(6.15)
−2rM 2 2rM 2 −2MN −2MN 2ν(s2−g 2 )
1−2ν − 2M 2 2ν(s2−g 2 )
1−2ν
−2rN 2 2rN 2 2MN 2MN
2ν(s2−g 2 )
1−2ν − 2N 2 2ν(s2−g 2 )
1−2ν
2g 2 r −2g 2 r 0 0 r 2 + g 2 r 2 + g 2
2MNr −2MNr N 2 − M 2 N 2 − M 2 2MN 2MN
(r 2 + g 2 )M (r 2 + g 2 )M Nr −Nr 2Ms −2Ms
(r 2 + g 2 )N (r 2 + g 2 )N −Mr Mr 2Ns −2Ns
Le condizioni di stress-free per una piastra semplicemente appoggiata
sulle superfici superiore e inferiore sono:
σz = τxz = τyz = 0 in Z = 0, 1 (6.16)
Il soddisfacimento di tali condizioni conduce ad un sistema di sei equazioni
per ogni coppia (m, n). Una soluzione non banale del problema viene raggiunta
imponendo nullo il determinante ∆ della latrice dei coefficienti dell’equazione
ottenuta dalle (6.16) e (6.15). Ciò produce l’equazione caratteristica:
∆ = [8g 2 rs
r 2 + g 2
2
(1−coshrcoshs)+ 16g 4 r 2 s 2 +
r 2 + g 24
sinhrsinhs]sinhr = 0.
(6.17)
La soluzione di questa equazione trascendentale per ogni coppia (m, n) produce
una sequenza infinita di autovalori.
62
2 − 2M
2 − 2N
⎤
⎥
⎦

Capitolo 7
Risultati Numerici
Vengono presentati i risultati numerici ottenuti al fine di mostrare le prestazioni
dell’elemento finito HC3. Sono stati confrontati i risultati numerici ottenuti
tramite l’HC3 con quelli di elementi finiti predefiniti di ABAQUS.
In particolare si è indagato sperimentalmente il comportamento dell’elemento
proposto rispetto ad infittimenti successivi della mesh utilizzata nell’analisi.
Il comportamento che si attendeva, e che si è anche verificato, è
una riduzione progressiva dell’errore (consistenza del metodo approssimante
[11]) e quindi la convergenza alla soluzione esatta 1 .
7.1 Test 1: Analisi statica di una mensola
tozza
Il primo test consiste in una trave tozza a mensola con sezione rettangolare
riportata in Figura 7.1. La faccia con x3 = L è fissata (u1 = u2 = u3 = 0)
mentre la faccia x2 = L è soggetta a un carico esterno ripartito uniforme-
2
mente. La Tabella 7.1 riporta i risultati ottenuti con differenti mesh dell’elemento
finito HC3 per i punti A = (0, − L
L L L
, 0), B = (− , − , ) e C = (0, 0, L)
2 6 2 2
(si veda di nuovo la Figura 7.1). Nella stessa tabella sono inoltre riportati
i valori ricavati con alcuni elementi finiti predefiniti di ABAQUS, con varie
mesh. Tutti i risultati dei test numerici usano un coefficiente di Poisson
ν = 0.3.
Nelle Figure 7.6, 7.5, 7.4, 7.2, 7.3 sono mostrati i grafici degli output
adimensionalizzati usati nella Tabella 7.1 per il confronto fra l’elemento HC3
e i predefiniti di ABAQUS. Nella Figura 7.7 viene presentato il plottaggio,
1 Nei FEMs ad un progressivo infittimento della mesh corrisponde un progressivo
avvicinarsi della soluzione approssimata a quella esatta (h-refinement [11]) e quindi un
miglioramento in termini di accuratezza.
63

L
x 1
x 2
A
x 3
L
B
C
q
u 1 =0 u 2 =0
u 3 =0
L/3
Figura 7.1: Test 1: geometria e condizioni di carico.
ottenuto con il software ABAQUS, della configurazione deformata (in blu)
con sovrapposizione della configurazione indeformata (in bianco), per il test
eseguito con una mesh 4x20x20 di elementi C3D20.
64

sol name dofs
u A 2
−qL/E
u A 3
−qL/E
u B 1
−0.01qL/E
σ C 33
−0.01q
σ C 23
−0.1q
AbHC3 (2x6x6) 768 2.9252 1.0146 3.2370 9.8302 8.9672
AbHC3 (4x12x12) 3528 2.9418 1.0209 3.2141 9.4960 8.9661
AbHC3 (8x24x24) 20280 2.9475 1.0231 3.2220 9.2541 8.9925
AbHC3 (16x48x48) 135000 2.9498 1.0239 3.2226 9.2223 9.0032
C3D8 (4x8x8) 1215 2.9014 1.0180 3.1428 17.9781 9.8569
C3D8 (6x12x12) 3549 2.9239 1.0198 3.2478 15.5269 9.6476
C3D8 (12x22x22) 20631 2.9405 1.0222 3.2438 12.8426 9.3974
C3D8 (18x48x48) 136857 2.9489 1.0239 3.2321 10.9308 9.2052
C3D8H (4x8x8) 1215 2.9014 1.0180 3.1428 17.9781 9.8569
C3D8H (6x12x12) 3549 2.9239 1.0198 3.2478 15.5269 9.6476
C3D8H (12x22x22) 20631 2.9405 1.0222 3.2438 12.8426 9.3974
C3D8H (18x48x48) 136857 2.9489 1.0239 3.2321 10.9308 9.2052
C3D8RH (4x8x8) 1215 2.9503 1.0078 0.9731 24.7987 9.1087
C3D8RH (6x12x12) 3549 2.9495 1.0530 2.5422 19.7773 9.1313
C3D8RH (12x22x22) 20631 2.9520 1.0258 3.3492 15.4241 9.1437
C3D8RH (18x48x48) 136857 2.9530 1.0256 3.2212 11.8668 9.0764
C3D20 (2x8x8) 2511 2.9244 1.0164 3.2189 8.2929 8.9652
C3D20 (2x10x10) 3795 2.9299 1.0172 3.2240 8.8165 8.9881
C3D20 (4x20x20) 24507 2.9431 1.0216 3.2221 9.6103 8.9596
C3D20 (8x36x36) 141747 2.9471 1.0230 3.2221 9.2595 8.9901
C3D20H (2x8x8) 2511 2.9312 1.0193 3.1658 8.1844 9.0036
C3D20H (2x10x10) 3795 2.9351 1.0195 3.2738 11.0371 9.0060
C3D20H (4x20x20) 24507 2.9451 1.0224 3.2257 9.8031 8.9782
C3D20H (8x36x36) 141747 2.9480 1.0234 3.2228 9.3547 8.9959
C3D20RH (2x8x8) 2511 2.9323 1.0199 3.0942 6.3177 9.1497
C3D20RH (2x10x10) 3795 2.9358 1.0199 3.2717 10.7029 9.1816
C3D20RH (4x20x20) 24507 2.9455 1.0225 3.2222 9.6647 8.9910
C3D20RH (8x36x36) 141747 2.9482 1.0235 3.2223 9.3458 9.0012
Tabella 7.1: Test 1: risultati dell HC3 e dei predefiniti di ABAQUS.
65

2.97
2.96
2.95
2.94
2.93
2.92
2.91
2.9
2.5 3 3.5 4
log dofs
4.5 5 5.5
1.06
1.05
1.04
1.03
1.02
1.01
Figura 7.2: Test 1: u2
−qL/E
1
2.5 3 3.5 4
log dofs
4.5 5 5.5
Figura 7.3: Test 1: u3
−qL/E
66
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
L
nel punto A = (0, − , 0) 2
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
L
nel punto A = (0, − , 0) 2

3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
2.5 3 3.5 4
log dofs
4.5 5 5.5
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
Figura 7.4: Test 1:
u1
−0.01qL/E
6
2.5 3 3.5 4
log dofs
4.5 5 5.5
Figura 7.5: Test 1: σ33
−0.01q
67
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
L L L
nel punto B = (− , − , 6 2 2 )
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
nel punto C = (0, 0, L)

9.9
9.8
9.7
9.6
9.5
9.4
9.3
9.2
9.1
9
8.9
2.5 3 3.5 4
log dofs
4.5 5 5.5
3
2
1
Figura 7.6: Test 1: σ23
−0.1q
nel punto C = (0, 0, L)
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
Figura 7.7: Test 1: mesh C3D20 4x20x20, abaqus deformed plot
68

7.2 Test 2: Analisi statica di una trave tozza
appoggiata
Il secondo test numerico è sulla trave tozza semplicemente appoggiata con
sezione rettangolare riportata nella Figura 7.8. Gli spostamenti u1 e u2 sui
lati x3 = 0 e x3 = L sono vincolati mentre il lato x2 = L è soggetto a un carico
2
uniforme esterno. La Tabella 7.2 riporta i risultati nei punti O = (0, 0, 0)
A = (0, − L L
L L L
L
L
, − ), B = (− , − , ), C = (0, − , 0) e D = (0, 0, ) (si
2 2 6 2 2 2 2
veda di nuovo la Figura 7.8), con dimensioni della mesh crescenti. Nella
stessa tabella sono inoltre riportati i valori ricavati con alcuni elementi finiti
predefiniti di ABAQUS, con varie mesh. Anche in questo caso si assume un
coefficiente di Poisson ν = 0.3. Nelle Figure da 7.11 a 7.10 sono mostrati i
L
x 1
x 2
O
C
x 3
L
D
A B
q
u 1 =0 u 2 =0
Figura 7.8: Simply supported beam: geometria e condizioni di carico.
grafici degli output adimensionalizzati usati nella Tabella 7.2 per il confronto
fra l’elemento HC3 e i predefiniti di ABAQUS. Nella Figure 7.12 e 7.13 sono
presentati i plottaggi, ottenuti con il software ABAQUS, della configurazione
indeformata e deformata del test eseguito con una mesh 14x16x16 di elementi
C3D20.
69
L/3

sol name dofs
u A 2
−qL/E
u B 1
0.1qL/E
u C 3
qL/E
AbHC3 (3x9x9) 1815 0.3110 0.3646 0.2398 0.7554 0.5170 0.5621
AbHC3 (7x21x21) 14283 0.3111 0.3637 0.2399 0.7556 0.5168 0.5581
AbHC3 (11x33x33) 47775 0.3109 0.3635 0.2398 0.7550 0.5165 0.5573
AbHC3 (15x45x45) 112659 0.3112 0.3637 0.2399 0.7555 0.5169 0.5575
C3D8 (4x10x10) 1815 0.3023 0.3139 0.2329 0.6738 0.4486 0.5432
C3D8 (8x22x22) 14283 0.3092 0.3486 0.2384 0.7217 0.4846 0.5567
C3D8 (12x34x34) 47775 0.3102 0.3562 0.2392 0.7340 0.4957 0.5580
C3D8 (16x46x46) 112659 0.3106 0.3592 0.2395 0.7398 0.5012 0.5583
C3D8H (4x10x10) 1815 0.3023 0.3139 0.2329 0.6738 0.4486 0.5432
C3D8H (8x22x22) 14283 0.3092 0.3486 0.2384 0.7217 0.4846 0.5567
C3D8H (12x34x34) 47775 0.3102 0.3562 0.2392 0.7340 0.4957 0.5580
C3D8H (16x46x46) 112659 0.3106 0.3592 0.2395 0.7398 0.5012 0.5583
C3D8RH (4x10x10) 1815 0.3017 0.3597 0.2342 0.6099 0.4432 0.5187
C3D8RH (8x22x22) 14283 0.3094 0.3633 0.2391 0.6866 0.4826 0.5417
C3D8RH (12x34x34) 47775 0.3104 0.3634 0.2396 0.7101 0.4944 0.5476
C3D8RH (16x46x46) 112659 0.3107 0.3636 0.2397 0.7218 0.5002 0.5504
C3D20 (2x8x8) 2511 0.3087 0.3619 0.2380 0.7662 0.5131 0.5640
C3D20 (6x12x12) 13143 0.3094 0.3626 0.2386 0.7601 0.5143 0.5592
C3D20 (14x16x16) 49623 0.3100 0.3629 0.2391 0.7578 0.5152 0.5581
C3D20 (18x22x22) 116403 0.3106 0.3633 0.2395 0.7569 0.5161 0.5578
C3D20H (2x8x8) 2511 0.3088 0.3580 0.2378 0.7492 0.5133 0.5646
C3D20H (6x12x12) 13143 0.3095 0.3608 0.2386 0.7514 0.5151 0.5600
C3D20H (14x16x16) 49623 0.3101 0.3620 0.2391 0.7527 0.5156 0.5583
C3D20H (18x22x22) 116403 0.3106 0.3629 0.2395 0.7541 0.5163 0.5578
C3D20RH (2x8x8) 2511 0.3090 0.3598 0.2377 0.7450 0.5109 0.5509
C3D20RH (6x12x12) 13143 0.3095 0.3615 0.2386 0.7483 0.5162 0.5581
C3D20RH (14x16x16) 49623 0.3101 0.3623 0.2391 0.7508 0.5164 0.5575
C3D20RH (18x22x22) 116403 0.3106 0.3631 0.2395 0.7531 0.5167 0.5574
Tabella 7.2: Test 2 (ν = 0.3): risultati dell’HC3 e dei predefiniti di ABAQUS
70
σ A 33
q
σ D 22
−q
σ O 32
−q

0.314
0.312
0.31
0.308
0.306
0.304
0.302
3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2
log dofs
4.4 4.6 4.8 5 5.2
0.37
0.36
0.35
0.34
0.33
0.32
(b)
0.31
3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2
log dofs
4.4 4.6 4.8 5 5.2
Figura 7.9: Test 2: (a)
punto A = (0, − L L , − 2 2 )
u B 1
0.1qL/E
(a)
nel punto B = (− L
6
71
, − L
2
L , ); (b) 2
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
u A 2
−qL/E nel

0.241
0.24
0.239
0.238
0.237
0.236
0.235
0.234
0.233
3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2
log dofs
4.4 4.6 4.8 5 5.2
0.8
0.78
0.76
0.74
0.72
0.7
0.68
0.66
0.64
0.62
(a)
0.6
3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2
log dofs
4.4 4.6 4.8 5 5.2
Figura 7.10: Test 2: (a)
A = (0, − L L , − 2 2 )
u C 3
qL/E
(b)
L
nel punto C = (0, − 2 , 0); (b) σA 33
q
72
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
nel punto

0.53
0.52
0.51
0.5
0.49
0.48
0.47
0.46
0.45
0.44
3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2
log dofs
4.4 4.6 4.8 5 5.2
0.57
0.56
0.55
0.54
0.53
0.52
(a)
0.51
3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2
log dofs
4.4 4.6 4.8 5 5.2
Figura 7.11: Test 2: (a) σD 22
−q
O = (0, 0, 0)
(b)
L
nel punto D = (0, 0, 2 ); (b) σO 32
−q
73
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
nel punto

3
2
1
Figura 7.12: Test 2: mesh C3D20 14x16x16, abaqus undeformed plot
3
2
1
Figura 7.13: Test 2: mesh C3D20 14x16x16, abaqus deformed plot
74

7.3 Test 3.a: Calcolo delle frequenze naturali
di una lastra apoggiata
Si consideri la configurazione geometrica di una piastra rettangolare omogenea
e isotropa mostrata in Figura 7.14. La piastra ha lunghezza a, larghezza
b e spessore uniforme h. Si consideri il caso di una piastra quadrata e un
rapporto h/b = 0.05.
h
x 2
a
x 3
x 2 =0, a
{
a
u1 =0
u3 =0
x 1 =0, a
{
u2 =0
u3 =0
Figura 7.14: Simply supported Plate test: geometria e vincoli.
Sono state determinate le frequenze naturali della struttura e i risultati
sono stati confrontati con gli elementi predefiniti di ABAQUS, e con soluzioni
analitiche, in particolare con la soluzione della teoria delle piastre classica
(CPT) e una soluzione elastica 3D [4] presa come soluzione di riferimento. I
risultati ottenuti sono confrontabili nella Tabella 7.3, dove i valori risportati
sono i parametri λsr definiti in §6.2.1.
Nelle Figure da 7.15 a 7.17 sono mostrati i grafici dei risultati riportati
nella Tabella 7.3 per il confronto fra l’elemento HC3 e i predefiniti di
ABAQUS. Nella Figura 7.19 sono presentati i plottaggi, ottenuti con il software
ABAQUS, dei modi del test eseguito con una mesh 9x9x2 di elementi
C3D20.
75
x 1

sol name dofs Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5
AbHC3 (6x6x3) 960 0.0240 0.0608 0.0608 0.0956 0.1305
AbHC3 (12x12x3) 2940 0.0239 0.0590 0.0590 0.0933 0.1162
AbHC3 (24x24x6) 16224 0.0239 0.0589 0.0589 0.0932 0.1155
AbHC3 (32x32x6) 27744 0.0239 0.0589 0.0589 0.0931 0.1155
C3D8 (7x7x4) 960 0.0363 0.0983 0.0983 0.1344 0.1558
C3D8 (13x13x4) 2940 0.0279 0.0724 0.0724 0.1073 0.1473
C3D8 (25x25x7) 16224 0.0250 0.0628 0.0628 0.0972 0.1249
C3D8 (33x33x7) 27744 0.0245 0.0611 0.0611 0.0953 0.1208
C3D8H (7x7x4) 960 0.0363 0.0983 0.0983 0.1344 0.1558
C3D8H (13x13x4) 2940 0.0279 0.0724 0.0724 0.1073 0.1473
C3D8H (25x25x7) 16224 0.0250 0.0628 0.0628 0.0972 0.1249
C3D8H (33x33x7) 27744 0.0245 0.0611 0.0611 0.0953 0.1208
C3D8RH (7x7x4) 960 0.0446 0.0680 0.0680 0.0680 0.0680
C3D8RH (13x13x4) 2940 0.0256 0.0611 0.0611 0.0989 0.1173
C3D8RH (25x25x7) 16224 0.0242 0.0592 0.0592 0.0941 0.1156
C3D8RH (33x33x7) 27744 0.0238 0.0586 0.0586 0.0927 0.1148
C3D20 (5x5x2) 1080 0.0240 0.0606 0.0606 0.0962 0.1248
C3D20 (9x9x2) 3120 0.0239 0.0592 0.0592 0.0935 0.1168
C3D20 (22x22x2) 17043 0.0239 0.0589 0.0589 0.0932 0.1156
C3D20 (18x18x6) 28443 0.0239 0.0589 0.0589 0.0932 0.1156
C3D20H (5x5x2) 1080 0.0240 0.0605 0.0605 0.0959 0.1245
C3D20H (9x9x2) 3120 0.0239 0.0591 0.0591 0.0933 0.1166
C3D20H (22x22x2) 17043 0.0239 0.0589 0.0589 0.0931 0.1155
C3D20H (18x18x6) 28443 0.0239 0.0589 0.0589 0.0932 0.1156
C3D20RH (5x5x2) 1080 0.0238 0.0588 0.0588 0.0928 0.1168
C3D20RH (9x9x2) 3120 0.0239 0.0589 0.0589 0.0929 0.1154
C3D20RH (22x22x2) 17043 0.0239 0.0589 0.0589 0.0931 0.1155
C3D20RH (18x18x6) 28443 0.0239 0.0589 0.0589 0.0931 0.1155
3D [4] - 0.023800 0.058900 0.058900 0.093200 0.115500
CPT [4] - 0.0241 0.0602 0.0602 0.0963 0.1204
Tabella 7.3: Simply supported plate test (ν = 0.3): risultati dell’HC3 vs.
CPT, soluzione 3d.
76

0.045
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8
log dofs
4 4.2 4.4 4.6 4.8
0.1
0.095
0.09
0.085
0.08
0.075
0.07
0.065
0.06
0.055
modo I
0.05
2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8
log dofs
4 4.2 4.4 4.6 4.8
modo II
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
Figura 7.15: Test piastra semplicemente appoggiata: convergenza.
77

0.1
0.095
0.09
0.085
0.08
0.075
0.07
0.065
0.06
0.055
0.05
2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8
log dofs
4 4.2 4.4 4.6 4.8
0.15
0.14
0.13
0.12
0.11
0.1
0.09
0.08
0.07
modo III
0.06
2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8
log dofs
4 4.2 4.4 4.6 4.8
modo IV
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
Figura 7.16: Test piastra semplicemente appoggiata: convergenza.
78

0.16
0.15
0.14
0.13
0.12
0.11
0.1
0.09
0.08
0.07
0.06
2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8
log dofs
4 4.2 4.4 4.6 4.8
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
Figura 7.17: Test piastra semplicemente appoggiata: convergenza autovalore
V.
2
3
1
Figura 7.18: Test piastra semplicemente appoggiata: mesh 9x9x2 con
elementi C3D20, plottaggio della configurazione indeformata
79

2
2
2
2
3
3
3
3
1
1
1
1
modo I
modo III
modo V
modo VII
2
2
2
2
3
3
3
3
1
1
1
1
modo II
modo IV
modo VI
modo VIII
Figura 7.19: Test piastra semplicemente appoggiata: mesh 9x9x2 con
elementi C3D20, plottaggi dei modi
80

7.4 Test 3.b: Calcolo delle frequenze naturali
di una lastra apoggiata
Si consideri la stessa configurazione geometrica di piastra rettangolare omogenea
e isotropa usata nel test 3.a e mostrata in Figura 7.14. S Si consideri
il caso di una piastra quadrata e un rapporto h/b = 0.2. Sono state determinate
le frequenze naturali della struttura e i risultati sono stati confrontati
con gli elementi predefiniti di ABAQUS, e con soluzioni analitiche, in particolare
con la soluzione della teoria delle piastre classica (CPT) e una soluzione
elastica 3D [4] presa come soluzione di riferimento. I risultati ottenuti sono
confrontabili nella Tabella 7.4, dove i valori risportati sono i parametri λsr
definiti in §6.2.1. Nelle Figure da 7.20 a 7.22 sono mostrati i grafici dei
risultati riportati nella Tabella 7.4 per il confronto fra l’elemento HC3 e i
predefiniti di ABAQUS. Nella Figura 7.24 sono presentati i plottaggi, ottenuti
con il software ABAQUS, dei modi del test eseguito con una mesh
9x9x2 di elementi C3D20.
81

sol name dofs Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5
AbHC3 (6x6x3) 960 0.3423 0.6284 0.6284 0.7542 0.7542
AbHC3 (12x12x3) 2940 0.3421 0.6283 0.6283 0.7515 0.7515
AbHC3 (24x24x6) 16224 0.3421 0.6283 0.6283 0.7511 0.7511
AbHC3 (32x32x6) 27744 0.3421 0.6283 0.6283 0.7511 0.7511
C3D8 (7x7x4) 960 0.3457 0.6231 0.6231 0.7613 0.7613
C3D8 (13x13x4) 2940 0.3397 0.6268 0.6268 0.7478 0.7478
C3D8 (25x25x7) 16224 0.3412 0.6279 0.6279 0.7497 0.7497
C3D8 (33x33x7) 27744 0.3409 0.6281 0.6281 0.7490 0.7490
C3D8H (7x7x4) 960 0.3457 0.6231 0.6231 0.7613 0.7613
C3D8H (13x13x4) 2940 0.3397 0.6268 0.6268 0.7478 0.7478
C3D8H (25x25x7) 16224 0.3412 0.6279 0.6279 0.7497 0.7497
C3D8H (33x33x7) 27744 0.3409 0.6281 0.6281 0.7490 0.7490
C3D8RH (7x7x4) 960 0.2719 0.2719 0.2719 0.2719 0.2719
C3D8RH (13x13x4) 2940 0.3308 0.5049 0.5049 0.5049 0.5049
C3D8RH (25x25x7) 16224 0.3385 0.6279 0.6279 0.7434 0.7434
C3D8RH (33x33x7) 27744 0.3387 0.6281 0.6281 0.7441 0.7441
C3D20 (5x5x2) 1080 0.3426 0.6284 0.6284 0.7560 0.7560
C3D20 (9x9x2) 3120 0.3423 0.6283 0.6283 0.7526 0.7526
C3D20 (22x22x2) 17043 0.3423 0.6283 0.6283 0.7523 0.7523
C3D20 (18x18x6) 28443 0.3421 0.6283 0.6283 0.7511 0.7511
C3D20H (5x5x2) 1080 0.3419 0.6284 0.6284 0.7531 0.7531
C3D20H (9x9x2) 3120 0.3421 0.6283 0.6283 0.7515 0.7515
C3D20H (22x22x2) 17043 0.3423 0.6283 0.6283 0.7519 0.7519
C3D20H (18x18x6) 28443 0.3421 0.6283 0.6283 0.7511 0.7511
C3D20RH (5x5x2) 1080 0.3416 0.6284 0.6284 0.7509 0.7509
C3D20RH (9x9x2) 3120 0.3421 0.6283 0.6283 0.7511 0.7511
C3D20RH (22x22x2) 17043 0.3422 0.6283 0.6283 0.7517 0.7517
C3D20RH (18x18x6) 28443 0.3421 0.6283 0.6283 0.7511 0.7511
3D [4] - 0.342000 0.628300 0.628300 0.751100 0.751100
CPT [4] - 0.3853 0.9632 0.9632 1.5411 1.9263
Tabella 7.4: Simply supported plate 2 test (ν = 0.3): risultati dell’HC3 vs.
CPT, soluzione 3d.
82

0.36
0.35
0.34
0.33
0.32
0.31
0.3
0.29
0.28
0.27
2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8
log dofs
4 4.2 4.4 4.6 4.8
0.65
0.6
0.55
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
modo I
0.25
2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8
log dofs
4 4.2 4.4 4.6 4.8
modo II
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
Figura 7.20: Test piastra semplicemente appoggiata 2: convergenza.
83

0.65
0.6
0.55
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8
log dofs
4 4.2 4.4 4.6 4.8
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
modo III
0.2
2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8
log dofs
4 4.2 4.4 4.6 4.8
modo IV
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
Figura 7.21: Test piastra semplicemente appoggiata 2: convergenza.
84

0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8
log dofs
4 4.2 4.4 4.6 4.8
AbHC3
C3D8
C3D8H
C3D8RH
C3D20
C3D20H
C3D20RH
Figura 7.22: Test piastra semplicemente appoggiata 2: convergenza
autovalore V.
2
3
1
Figura 7.23: Test piastra semplicemente appoggiata 2: mesh 9x9x2 con
elementi C3D20, plottaggio della configurazione indeformata
85

3
2 1
2
2
2
3
3
3
1
1
1
modo I
modo III
modo V
modo VII
2
2
2
2
3
3
3
3
1
1
1
1
modo II
modo IV
modo VI
modo VIII
Figura 7.24: Test piastra semplicemente appoggiata 2: mesh 9x9x2 con
elementi C3D20, plottaggi dei modi
86

Capitolo 8
Conclusioni
Il lavoro presentato ha riguardato la formulazione e l’implementazione di
un elemento finito, denominato HC3, per l’analisi di solidi elastici 3D. La
formulazione dell’elemento, di tipo compatibile, si basa su una interpolazione
di tipo B-Spline che consente, a parità di grado del polinomio interpolante,
un notevole risparmio computazionale rispetto ad interpolazioni standard di
tipo Lagrangiano. Le prestazioni e l’accuratezza della formulazione sono state
verificate implentando l’elemento HC3 nel codice di analisi ingegneristica
ABAQUS il quale consente, tra le altre cose, l’utilizzo di elementi finiti non
presenti nella libreria e quindi definibili dall’esterno. In tal modo è stato
possibile effettuare, all’interno di un ambiente software per l’analisi FEM
evoluto, un’estesa sperimentazione numerica comfrontando l’elemento HC3
con altri tipi di elementi finiti. La sperimentazione numerica ha messo in
luce come l’elemento proposto sia effettivamente in grado di fornire risultati
accurati a costi computazionali contenuti.
87

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