tesi_AntonioLorenzoM.. - LabMec

cioé dall’uguaglianza energetica fra l’energia di deformazione del sistema continuo
e quella del sistema discreto equivalente. Analogamente la matrice delle
masse si ricava dall’uguaglianza fra l’energia cinetica del sistema continuo e
quella scritta al discreto
Ec = 1
2 ˙wT M ˙w = 1
ρu
2 Ω
T udΩ (2.21)
Seguendo un approccio ad elementi finiti compatibili, le matrici di rigidezza
e delle masse e il vettore dei carichi della struttura sono ottenute tramite
assemblaggio delle matrici e vettori elementari. I contributi elementari si
determinano applicando le (2.20), (2.21) al singolo elemento.
2.2.3 Matrice delle Masse locale
La matrice delle masse Me di un elemento, può essere definita mediante
l’espressione al discreto dell’energia cinetica Ece dell’elemento stesso
dove
Ece = 1
2 ˙ we T Mewe ˙
(2.22)
we ˙ è il vettore dei parametri discreti di velocità. La matrice Me può essere
ricavata manipolando e successivamente uguagliando al secondo membro di
(2.22), l’espressione al continuo di Ece, la quale nel caso di un sistema di
dominio Ωe, densità di massa costante ρ e campo di velocità ue, ˙ risulta:
Sostituendo infatti
ue ˙ = ∂ue
∂t
nella (2.23) si ottiene
Ece
Ece = 1
ρue ˙
2 Ωe
T uedΩe ˙
=
=
=
=
ue1 ˙ ue2 ˙ ue3 ˙
T
1
ρue ˙
2 Ωe
T uedΩe ˙
1
2 ρ
∂u
Ωe
T e ∂ue
∂t ∂t dΩe
1
2 ˙ we T
ρ
matrice masse
⇒ Me = ρ
N
Ωe
T e NedΩe
17
= Newe ˙
N
Ωe
T e NedΩe we
˙
(2.23)
(2.24)
(2.25)