tesi_AntonioLorenzoM.. - LabMec

In genere il corpo non è libero nello spazio, ma su una porzione della
superficie che delimita il corpo sono assegnati dei vincoli che prescrivono il
valore dello spostamento attraverso equazioni delle forma:
u = ū, su ∂Ωu
(2.1)
Se le condizioni suddette, di continuità e iniettività per le funzioni yk, k =
1, 2, 3 e quelle di spostamento assegnato su ∂Ωu, sono rispettate si ottengono
trasformazioni compatibili (o congruenti) cinematicamente [7]. In particolare,
si parla di condizioni di compatibilità esterna per le (2.1) e di compatibilità
interna per le altre. Viene inoltre ipotizzato che le yk, k = 1, 2, 3 siano
sufficientemente differenziabili affinchè siano definibili alcune operazioni su
di esse.
Per caratterizzare la cinematica di un corpo continuo viene usata la
misura di Green, un indicatore locale della deformazione. La misura di Green
conduce alla definizione del tensore della deformazione e alla formulazone
delle equazioni di compatibilità interna.
Si consideri l’elemento infinitesimo di lunghezza ds0 uscente dal generico
punto P0 della configurazione indeformata, di coordinate x1, x2, x3. In seguito
ad una deformazione tale elemento si trasforma nell’elemento infinitesimo
di lunghezza ds uscente dal punto P della configurazione deformata, di coordinate
yk = yk(x1, x2, x3), k = 1..3. La misura di Green è pari alla differenza
tra il quadrato della lunghezza ds e il quadrato della lunghezza ds0.
Nell’ambito della descrizione lagrangiana (yk = yk(x1, x2, x3)), si ha
ds 2 = dykdyk = yk,idxiyk,jdxj
ds 2 0 = dxidxi = dxidxjδij
dove δij rappresenta il delta di Kronecker 4 . Tali espressioni sono caratteristica
di una metrica pitagorica nello spazio euclideo in cui supponiamo immerse
le configurazioni indeformata e deformata. La metrica proposta da
Green è assunta a misura della deformazione nell’intorno di P0, perchè la
• Si definisce funzione iniettiva una funzione f : A → B t.c.
4 Il delta di Kronecker vale
∀a1, a2 ∈ A, a1 = a2 ⇒ f(a1) = f(a2)
δij =
1 se i = j
0 altrimenti
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