tesi_AntonioLorenzoM.. - LabMec

Secondo l’uguaglianza energetica fra la scrittura di Ec al continuo e quella
al discreto
Ec = 1
ρ ˙u
2 Ω
T ˙udΩ = 1
2 ˙wT Me ˙w (4.33)
usando la (4.32) si perviene all’espressione della generica cella Me[dijk, fpqr]
di Me, che esprime la relazione fra la componente di spostamento d del nodo
ijk e la componente di spostamento f del nodo pqr:
Me[dijk, fpqr] = δdfρAx[0, 0, i, p]Ay[0, 0, j, q]Az[0, 0, k, r]detJ (4.34)
Analogamente può essere determinato il contributo pt e al vettore dei termini
noti dovuto ai carichi distribuiti sul contorno. Si consideri l’espressione
del lavoro dei carichi LC∂Ωt distribuiti sul contorno ∂Ωt di un elemento di
dominio Ω, carichi distribuiti ¯t, campo di spostamento u
LC∂Ωt = ¯tudΩ (4.35)
∂Ωt
Sostituendo la (4.25) nella (4.35) si ottiene
LC∂Ωt =
∂Ωt
¯tudΩ =
∂Ωt
Σd ¯tduddΩ
=
∂Ωt
Σd
¯tdΣijkφiψjχkwdijkdΩ (4.36)
Secondo l’uguaglianza energetica fra la scrittura di LC∂Ωt al continuo e
quella al discreto
LC∂Ωt =
(4.37)
¯tud∂Ωt = w
∂Ωt
T p t e
usando la (4.36) si perviene all’espressione della generica cella pt e[dijk] di
pe, che esprime il contributo al termine noto legato al grado di libertà d del
nodo ijk. A d esempio se il contorno ∂Ωt coincide con la faccia Fy+ positiva
lungo ξ2 dell’elemento adimensionalizzato, si ha
dove
p t e[dijk] =
Fy+
= ψj | ξ2= 1
2
¯tdφiψjχkd∂Ωt
1
2
− 1
2
= Φ[3, j] | ξ2= 1
2
Ap[ii, i] =
1
2
− 1
2
¯tdφi(ξ1)χk(ξ3)x1,ξ1x3,ξ3dξ1dξ3
¯tdx1,ξ1x3,ξ3Ap[tipo x, i]Ap[tipo z, k]
1
2
− 1
2
46
Φ[ii, i]dξ1