tesi_AntonioLorenzoM.. - LabMec

delle piastre, dei gusci). In tempi relativamente brevi, la disponibilità di
potenti mezzi di calcolo, ha portato inoltre alla definizione di modelli indipendenti
dalle particolari tipologie strutturali, quali quelli a elementi finiti,
che consentono raffinate analisi numeriche di strutture anche notevolmente
complesse.
2.2.1 Metodi agli elementi finiti
I metodi degli elementi finiti sono tecniche atte ad approssimare le equazioni
differenziali che governano un sistema continuo con un sistema di equazioni
algebriche in un numero discreto di incognite e generate mediante l’impiego di
un principio variazionale [10]. La fortuna di tali metodi è dovuta soprattutto
alla facilità con cui possono essere tradotti in strumenti di calcolo automatico.
Il primo passo da effettuare è una discretizzazione del sistema continuo,
oggetto dell’analisi. Tale discretizzazione consiste nel suddividere il dominio
in sottodomini, detti elementi finiti, e individuare dei punti, chiamati nodi
sul contorno o nell’interno degli elementi. Un numero finito di parametri
(valori della funzione incognita delle equazioni differenziali del sistema continuo
o delle sue derivate o parametri di controllo (§ 3)) vengono poi assunti
come variabili incognite del sistema discreto e la funzione incognita e le sue
derivate vengono ricavate mediante funzioni di interpolazione definite sui singoli
elementi. Nel caso dei problemi strutturali, vengono scelti come incognite
del problema discreto, parametri di spostamento o sforzo, e spostamenti, deformazioni
e tensioni in un punto generico sono espresse in termini di tali
variabili mediante interpolazione. A seconda che si scelgano come variabili,
solo misure del campo degli spostamenti o sia misure del campo degli spostamenti
che di quello degli sforzi, si parla rispettivamente di elementi finiti
compatibili o elementi misti (§ 2.2.2).
2.2.2 Formulazione variazionale compatibile standard
Nella formulazione compatibile vengono imposte a priori le equazioni di compatibilità
e legame costitutivo e vengono imposte in forma debole le equazioni
di equilibrio. I gradi di libertà del problema sono quindi gli spostamenti e
le equazioni da risolvere sono equazioni di equilibrio. Il principio di minimo
dell’energia potenziale totale è alla base di tale formulazione e la forma
debole ad esso associata è l’equazione dei lavori virtuali.
Si prenda il funzionale energetico EP T pari a:
EP T [u] := 1
2
Cijhk(∇u)ij(∇u)hk
Ω
energia elastica
14
−
tu
∂Ωt
lavoro esterno
, (2.13)