tesi_AntonioLorenzoM.. - LabMec

L’ascissa locale ξi è legata a quella globale xi secondo:
− 1
2 ≤ ξi ≤ 1
2 , → ¯xi ≤ xi ≤ ¯xi + hi, (4.2)
dove ¯xi è l’ascissa globale corrispondente all’estremità sinistra e hi è la
lunghezza dell’i-esimo lato dell’elemento finito. Conseguentemente:
∂
(·) =
∂xi
1 ∂
(·), dxi = hidξi. (4.3)
hi ∂ξi
A questo punto, allo scopo di introdurre l’interpolazione ad alta continuità
nel funzionale (2.13), abbiamo bisogno di valutare le componenti di ∇u:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
(∇u)11 = ∂u1
∂x1
(∇u)12 = ∂u1
∂x2
(∇u)13 = ∂u1
∂x3
(∇u)21 = ∂u2
∂x1
(∇u)22 = ∂u2
∂x2
(∇u)23 = ∂u2
∂x3
(∇u)31 = ∂u3
∂x1
(∇u)32 = ∂u3
∂x2
(∇u)33 = ∂u3
∂x3
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1],1 ψj[ξ2] χk[ξ3] u1ijk,
h1
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1] ψj[ξ2],2 χk[ξ3] u1ijk,
h2
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1] ψj[ξ2] χk[ξ3],3 u1ijk,
h3
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1],1 ψj[ξ2] χk[ξ3] u2ijk,
h1
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1] ψj[ξ2],2 χk[ξ3] u2ijk,
h2
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1] ψj[ξ2] χk[ξ3],3 u2ijk,
h3
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1],1 ψj[ξ2] χk[ξ3] u3ijk,
h1
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1] ψj[ξ2],2 χk[ξ3] u3ijk,
h2
1 3i,j,k=1 = φi[ξ1] ψj[ξ2] χk[ξ3],3 u3ijk,
h3
Noi possiamo ora valutare l’energia elastica sull’e-simo elemento:
o, equivalentemente
(4.4)
φe = 1
Cijhk(∇u)ij(∇u)hk, (4.5)
2 Ωe
φe = 1
1
2
2 − 1
1
2
− 2
1
1
2
− 2
1
(Cijhk(∇u)ij(∇u)hk) h1h2h3dξ1dξ2dξ3. (4.6)
2
Manipolando opportunamente le quantità negli integrali, la matrice di
rigidezza dell’e-simo elemento è memorizzata sulla base delle seguenti sottomatrici:
KHC[u1ijk, u1pqr] = h2h3
h1 C1111A11[ξ1]ipA00[ξ2]jqA00[ξ3]kr+
h3h1
h2 C1212A00[ξ1]ipA11[ξ2]jqA00[ξ3]kr+
h1h2
h3 C1313A00[ξ1]ipA00[ξ2]jqA11[ξ3]kr,
KHC[u1ijk, u2pqr] = h3 C1122A10[ξ1]ipA01[ξ2]jqA00[ξ3]kr+
h3 C1212A01[ξ1]ipA10[ξ2]jqA00[ξ3]kr,
41
(4.7)
(4.8)