tesi_AntonioLorenzoM.. - LabMec

In modo analogo il legame elastico lineare può essere riformulato nel modo
seguente:
σ = Cε (2.18)
dove
C = E
⎡
⎢
1 + ν ⎢
⎣
1−ν
1−2ν
ν
1−2ν
ν
1−2ν
0
0
ν
1−2ν
1−ν
1−2ν
ν
1−2ν
0
0
ν
1−2ν
ν
1−2ν
1−ν
1−2ν
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2 0
0 0 0 0 0 1
2
⎤
⎥
⎦
A questo punto è possibile introdurre l’interpolazione del campo degli
spostamenti:
u = Nw ⇒ ε = DNw = Bw (2.19)
dove N è la matrice delle funzioni di interpolazione del campo degli spostamenti,
w il set di parametri discreti di spostamento o coordinate di Lagrange,
B l’operatore di comatibilità al discreto. Seguendo questa notazione si potrà
riscrivere il funzionale energia potenziale riferendosi al dominio discretizzato
in elementi finiti, e quindi determinare il sistema algebrico risolvente.
EP T =
e
1
2
Ωe ue T D T CDue −
Ωe ue T b −
∂Ωet ue T t
=
1
e 2 Ωe we T Ne T DT CDNewe −
Ωe we T Ne T b −
∂Ωet we T Ne T t
=
1
e 2 Ωe we T Be T CBewe −
Ωe we T Ne T b −
∂Ωet we T Ne T t
=
⎧
⎪⎨
1 T
e we Be 2
Ωe
⎪⎩
T CBe we − we
T
Ke
= min
⇒ Kw = p
Ne
Ωe
T b
pb e
−we T
⎫
Ne
∂Ωet
T t
pt ⎪⎬
⎪⎭
e
La matrice di rigidezza elastica K e il vettore dei carichi (forze generalizzate
nelle coordinate di Lagrange) p possono essere definiti a partire dal
principio di minimo dell’EPT. Secondo tale definizione la matrice di rigidezza
può essere ricavata secondo
Φ = 1
2 wT Kw = 1
σ
2 Ω
T εdΩ (2.20)
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