tesi_AntonioLorenzoM.. - LabMec

q0
controllo globali pi, i = 1..n + 2 dovranno quindi essere posizionati nei punti
medi degli elementi e negli estremi del dominio globale (si veda Figura 3.4).
q1
q2
qi
qi+1 qn-1
p1 p2 pi pi+1 pn-1
x0=p0 x1 x2 xi-1 xi xi+1
pn
xn-2 xn-1 xn=pn+1
e1 e2 ei ei+1 en-1 en
Si avrà quindi
Figura 3.4: Costruzione dell’interpolazione HC
f(x) |(xi−1,xi)= φ1qi−1 + φ2qi + φ3qi+1
dove φ1, φ2, φ3 sono le blending functions, le funzioni di forma per l’interpolazione
spline.
Supposti noti i parametri di controllo si consideri la spezzata S che congiunge
i punti di coordinate (pi, qi). Si imponga che f(x) nel generico sottointervallo
sia un polinomio quadratico con negli estremi dell’elemento l’intersezione
della funzione con S e nell’estremo sinistro dell’elemento la tangenza
ad S. Il sistema che conduce alla definizione delle blending functions per un
generico elemento interno risulta quindi
⎧
⎪⎨
⎪⎩
f(xi−1) = 1
2 (qi−1 + qi)
f(xi) = 1
2 (qi + qi+1)
f ′ (xi−1) = qi − qi−1
che considerando f(x) quadratica definita su dominio adimensionalizzato
diventa ⎧
⎪⎨
⎪⎩
f0 − f1 + f2 = 1
2 (qi−1 + qi)
f0 + f1 + f2 = 1
2 (qi + qi+1)
f1 − 2f2 = qi − qi−1
Secondo tali condizioni si ottengono le blending functions nella variabile ξj,
per un elemento interno normalizzato (-a,a)
φ1[ξj] = 1 1
−
8 4a ξj + 1
8a2 ξ2 j
φ2[ξj] = 3 1
−
4 4a2 ξ2 j
35
qn
qn+1