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Le condizioni al contorno (6.6) e (6.7) sono soddisfatte imponendo, (vedi Srinivas et al. (1970)): U(X, Y, Z) = hΣ ∞ m=1Σ ∞ n=1Φ(Z)cosmπXsinnπY, V (X, Y, Z) = hΣ ∞ m=1Σ ∞ n=1Ψ(Z)sinmπXcosnπY, W (X, Y, Z) = hΣ ∞ m=1Σ ∞ n=1χ(Z)sinmπXsinnπY (6.8) dove m ed n sono numeri naturali. Imponendo: M = mπh nπh , N = , a b g = (6.9) √ M 2 + N 2 ρh , λsr = ω 2 , G (6.10) D = ∂ ∂Z , D2 = ∂2 , ∂Z 2 (6.11) e sostituendo le (6.8) nelle (6.5), otteniamo la seguente equazione matriciale: ⎡ ⎢ ⎣ D 2 + λ 2 sr − g 2 − − MN 1−2ν − MD 1−2ν M 2 1−2ν − MN 1−2ν D 2 + λ 2 sr − g 2 − − ND 1−2ν N 2 1−2ν La soluzione non banale di (6.12) produce ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ Φ(Z) Ψ(Z) χ(Z) ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ = ⎡ ⎢ ⎣ rM −rM N N M M rN −rN −M −M N N g 2 g 2 0 0 s −s MD 1−2ν ND 1−2ν D2 + λ2 sr − g2 + D2 1−2ν ⎧ Ae ⎤ ⎪⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ rZ Ke−rZ BerZ Re−rZ CesZ Se−sZ ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ ⎤ ⎧ ⎪⎨ ⎥ ⎦ ⎪⎩ (6.12) (6.13) dove A, K, B, R, C, S sono sei costanti arbitrarie ed r, s possono essere espressi nella forma: r = g2 − λ2 sr, s = g2 − λ2sr(1 − 2ν) (6.14) 2 − 2ν Usando la (6.13), le relazioni tensioni-spostamenti e la (6.8) si ottengono le seguenti espressioni per le componenti di tensione: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ σx σy σz τxy τxz τyz ⎫ ⎪⎬ = GΣ ∞ m=1Σ ∞ ⎪⎨ n=1 ⎪⎭ ⎧ ⎪⎩ 61 σ ∗ xsinmπXsinnπY σ ∗ ysinmπXsinnπY σ ∗ zsinmπXsinnπY τ ∗ xycosmπXcosnπY τ ∗ xzcosmπXsinnπY τ ∗ yzsinmπXcosnπY ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ Φ(Z) Ψ(Z) χ(Z) ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ = ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ 0 0 0 ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭
dove: dove ⎡ ⎢ Λ = ⎢ ⎣ ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ σ ∗ x σ ∗ y σ ∗ z τ ∗ xy τ ∗ xz τ ∗ yz ⎫ ⎪⎬ ⎪⎨ = Λ ⎪⎭ ⎧ ⎪⎩ Ae rZ Ke −rZ Be rZ Re −rZ Ce sZ Se −sZ ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ (6.15) −2rM 2 2rM 2 −2MN −2MN 2ν(s2−g 2 ) 1−2ν − 2M 2 2ν(s2−g 2 ) 1−2ν −2rN 2 2rN 2 2MN 2MN 2ν(s2−g 2 ) 1−2ν − 2N 2 2ν(s2−g 2 ) 1−2ν 2g 2 r −2g 2 r 0 0 r 2 + g 2 r 2 + g 2 2MNr −2MNr N 2 − M 2 N 2 − M 2 2MN 2MN (r 2 + g 2 )M (r 2 + g 2 )M Nr −Nr 2Ms −2Ms (r 2 + g 2 )N (r 2 + g 2 )N −Mr Mr 2Ns −2Ns Le condizioni di stress-free per una piastra semplicemente appoggiata sulle superfici superiore e inferiore sono: σz = τxz = τyz = 0 in Z = 0, 1 (6.16) Il soddisfacimento di tali condizioni conduce ad un sistema di sei equazioni per ogni coppia (m, n). Una soluzione non banale del problema viene raggiunta imponendo nullo il determinante ∆ della latrice dei coefficienti dell’equazione ottenuta dalle (6.16) e (6.15). Ciò produce l’equazione caratteristica: ∆ = [8g 2 rs r 2 + g 2 2 (1−coshrcoshs)+ 16g 4 r 2 s 2 + r 2 + g 24 sinhrsinhs]sinhr = 0. (6.17) La soluzione di questa equazione trascendentale per ogni coppia (m, n) produce una sequenza infinita di autovalori. 62 2 − 2M 2 − 2N ⎤ ⎥ ⎦
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