tesi_AntonioLorenzoM.. - LabMec

essere rappresentata attraverso la seguente interpolazione
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x1 = 3 i,j,k=1 φi[ξ1]ψj[ξ2]χk[ξ3]x1ijk,
x2 = 3 i,j,k=1 φi[ξ1]ψj[ξ2]χk[ξ3]x2ijk,
x3 = 3 i,j,k=1 φi[ξ1]ψj[ξ2]χk[ξ3]x3ijk.
Quindi, introducendo la matrice Jacobiana
J =
⎛
⎜
⎝
x1,ξ1 x1,ξ2 x1,ξ3
x2,ξ1 x2,ξ2 x2,ξ3
x3,ξ1 x3,ξ2 x3,ξ3
⎞
(4.17)
⎟
⎠ , (4.18)
l’integrale di ciascuna funzione f sul dominio Ωe dell’e-simo elemento diventa
Ωe
fdx1dx2dx3 =
1/2
−1/2
1/2
−1/2
1/2
−1/2
mentre le derivate del campo degli spostamenti u è
dove
e
∇u =
J −1 =
f det(J)dξ1dξ2dξ3, (4.19)
∇u = ∇uJ −1 , (4.20)
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
è l’inversa della matrice Jacobiana.
u1,ξ1 u1,ξ2 u1,ξ3
u2,ξ1 u2,ξ2 u2,ξ3
u3,ξ1 u3,ξ2 u3,ξ3
ξ1,x1 ξ1,x2 ξ1,x3
ξ2,x1 ξ2,x2 ξ2,x3
ξ3,x1 ξ3,x2 ξ3,x3
4.3 Matrici dell’elemento
Dato un generico elemento, indichiamo con:
φi, i = 1, 2, 3 blending functions in direzione x
ψj, j = 1, 2, 3 blending functions in direzione y
χk, k = 1, 2, 3 blending functions in direzione z
⎞
⎟
⎠ (4.21)
⎞
⎟
⎠ (4.22)
(4.23)
É noto che φi, ψj, χk dipendono rispettivamente dalla posizione dell’elemento
rispetto alla direzione x, y, z. Le blending functions nella direzione generica
dipendono da dove è collocato l’elemento rispetto a tale direzione, in particolare
dal fatto che esso sia interno, sul bordo sinistro o sul bordo destro.
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