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Usando infatti le (2.19), (2.18), (2.17) nella (2.30) si ottiene Φe = 1 σ 2 Ωe T = εdΩe 1 ε 2 Ωe T = CεdΩe 1 w 2 Ωe T e N T e D T = CDNewedΩe 1 2 wT e B Ωe T e CBedΩe we matrice rigidezze ⇒ Ke = B T e CBedΩe 2.2.6 Tecnica d’assemblaggio Ωe (2.31) Sia dato un sistema e si consideri una matrice associata ad esso, che esprima le relazioni esistenti fra i suoi gradi di libertà, o un vettore associato ad esso, che esprima una proprietà per ciascun dei suoi gradi di libertà. Sia il sistema partizionato in un insieme di sottosistemi e si voglia poter determinare tale matrice e tale vettore tramite assemblaggio di singoli contributi provenienti da tali sottosistemi. La generica cella (p, q) della matrice assemblata deve esprimere la relazione fra i gradi di libertà p e q. Tale relazione è data perciò dalla sovrapposizione delle relazioni fra p e q contenute nei singoli contribuenti. Analogamente per un vettore, la generica cella p del vettore assemblato esprime la proprietà associata al grado di libertà p ed è dato dalla sovrapposizione delle proprietà legate a p contenute nei singoli contribuenti. Note che siano le relazioni o proprietà locali, i singoli contributi vengono assegnati rispettando una corrispondenza biunivoca fra i gradi di libertà nel riferimento globale e i gradi di libertà nel generico riferimento locale. La tecnica dell’assemblaggio viene utilizzata nel metodo ad elementi finiti per la determinazione delle proprietà globali del sistema, in particolare matrici di rigidezza e delle masse e il vettore dei termini noti. I singoli contribuenti sono le matrici e vettori locali. In altre parole, il comportamento globale della struttura, descritto tramite le proprietà globali del sistema, matrice di rigidezza, matrice delle masse e vettore dei carichi generalizzati, viene valutato assemblando il contributo di ogni elemento. K = Ae(Ke) M = Ae(Me) p = Ae(pe) 19
2.2.7 Discretizzazione FEM di un solido In un modello FEM compatibile tradizionale, che usi cioè interpolazione lagrangiana o hermitiana: • vengono individuati gli elementi in cui viene partizionato il dominio globale; • vengono individuati alcuni punti del dominio globale, sul contorno o l’interno degli elementi, detti nodi, nei quali, ai fini della formulazione teorica dell’elemento adottato, vengono imposti a livello locale i valori della funzione incognita o di una sua derivata; • i valori nodali della funzione incognita o di una sua derivata imposti per ricavare la formulazione dell’elemento adottato, vengono individuati come parametri globali, cioè i gradi di libertà del problema globale, nonchè parametri usati per l’interpolazione locale della soluzione. Nel caso del modello HCFEM: • vengono individuati gli elementi in cui viene partizionato il dominio globale; • vengono individuati alcuni punti del dominio globale, sul contorno degli elementi, detti nodi, nei quali, ai fini della formulazione teorica dell’elemento adottato, vengono imposti a livello locale i valori della funzione incognita o di una sua derivata, in funzione di alcuni parametri detti parametri di controllo o parametri HC associati a dei punti del dominio detti punti di controllo o nodi HC; • i parametri di controllo vengono individuati come parametri globali, cioè i gradi di libertà del problema globale, nonchè parametri usati per l’interpolazione locale della soluzione. Volendo generalizzare, si può dire che per definire un modello FEM compatibile, vengono individuati: • gli elementi in cui viene partizionato il dominio • i parametri globali e la loro connessione agli elementi e vengono fornite le informazioni relative a tali enti. Conviene definire istanze elemento che saranno caratterizzate da: • parametri connessi, 20
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Bibliografia [1] Maurizio Aristodem
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