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funzione tridimensionale f utilizzando 27 parametri di controllo locali fijk e le blending functions φi, ψj ed χk f = 3 i,j,k=1 φiψjχkfijk Si considerino i punti di controllo xpqr posizionati nei centroidi degli elementi, ai quali ci riferiremo come punti di controllo associati agli elementi. Analogamente a quanto visto per il dominio unidimensioanle per un elemento interno i suoi 27 parametri di controllo saranno associati al punto medio dell’elemento stesso e a quelli dei 26 elementi adiacenti, ma la stessa regola non può essere applicata ad un elemento di bordo. Infatti, per un elemento di bordo, che, rispetto ad un elemento interno, dal lato esterno del bordo manca di alcuni elementi adiacenti, mancherebbero alcuni punti di controllo. Su un elemento di bordo si sostituiscono i paramatri di controllo mancanti con dei corrispondenti sul bordo. In particolare con i punti sul bordo lungo le congiungenti i punti di controllo mancanti con il punto di controllo associato all’elemento 5 . I punti di controllo globali xpqr, p = 1..ex + 2, q = 1..ey + 2, r = 1..ez + 2 per il caso 3D saranno dunque posizionati nei punti centroidi degli elementi, nei vertici del dominio e nei punti medi dei segmenti e dei quadrati in cui si discretizzano rispettivamente gli spigoli e le facce del contorno 6 . Analogamente per il caso 2D i punti di controllo globali xpq, p = 1..ex+2, q = 1..ey+2 saranno posizionati nei punti medi degli elementi, nei vertici del dominio e nei punti medi dei segmenti in cui è discretizzato il contorno. Le interpolazioni B-spline biquadratica e triquadratica (rispettivamente quadratica in 2 direzioni e quadratica in 3 direzioni) possono essere determinate facendo il prodotto fra interpolazioni B-spline quadratiche per unidimensionale nelle direzioni di riferimento. Le funzioni di forma per un elemento interno, che è quindi interno rispetto a tutte le direzioni di riferimento (2 nel caso 2D, 3 nel caso 3D), sono uguali per ciascuna di tali direzioni tranne che cambia la variabile indipendente che le governa. Un elemento di bordo, invece, che può essere esterno in una direzione e interno in un’altra avrà in generale le blending functions differenti nelle varie direzioni. Ad ogni modo, una volta determinate le blending functions nella variabile generica xii per i tre casi di posizione dell’elemento, e cioè, estreno sinistro, interno ed esterno destro, potremo scriverle per ciascuna direzione modificando solo la 5 †Ci si riferisca per questo alla suddivisione in elementi finiti adimensionalizzata, che cioè riduce il dominio, curvo o retto che sia, con mesh uniforme o no, ad un parallelepipedo suddiviso in cubi. 6 Si veda la nota † 37
variabile indipendente che le governa. Le matrici HC che si ricavano dalle blending function per ciascuno dei tre casi di posizione dell’elemento saranno uguali fra una direzione e l’altra se e solo se la posizione dell’elemento in una direzione sarà uguale all’altra. 38
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Bibliografia [1] Maurizio Aristodem
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