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della funzione incognita, maggiore sarà il numero di parametri globali richiesti
e quindi il costo computazionale. In contrapposizione all’interpolazione
tradizionale (Lagrange con vincoli puri di interpolazione e Hermite con vincoli
misti di interpolazione e di regolarità) si pone l’interpolazione HC dove
alcune condizioni di regolarità vengono implicitamente imposte sopperendo
così alla necessità di un numero relativamente elevato di parametri globali.
Sono sufficienti infatti n+2 parametri globali, praticamente un parametro per
elemento (quindi tre ad esempio, nel caso di funzione a tre componenti) per
ottenere la classe di continuità C 1 . Tale costo è praticamente l’equivalente
di un’interpolazione lineare che garantisce C 0 . In tal modo già su mesh rade,
e quindi a costi computazionali ridotti, è possibile ottenere ottimi risultati.
3.5 Interpolazione HC
Il modello di discretizzazione HC è basato sull’uso dell’approssimazione Bspline
(vedi §3.2) quadratica che garantisce una continuità di classe C 1 con
l’uso di un solo parametro per elemento nel caso di una funzione incognita
unidimensionale. Il risparmio di parametri globali, già presente quindi nel
caso unidimensionale, è maggiore nel caso 2D, e ancora di più nel caso 3D.
Sia dato un intervallo reale [a, b] e si voglia definire su tale intervallo
una funzione f(x) ∈ C 1 [a, b] con relativamente pochi parametri. Tale scopo
può essere raggiunto con una particolare spline quadratica (si veda §3.2),
l’interpolazione HC presentata in [1].
Si consideri una suddivisione di [a, b] in n sottointervalli o elementi individuati
da punti equidistanti:
a ≡ x0 < x1 < ... < xn ≡ b.
Si imponga che f(x) nel generico sottointervallo sia un polinomio quadratico.
Dovranno perciò esserci per il generico elemento tre parametri. Si considerino
punti di controllo pi nei punti medi di ciascun sottointervallo. Si associ
ad ogni punto di controllo un parametro di controllo qi. In questo modo, per
un elemento interno potremo associare i 3 parametri locali al punto medio
dell’elemento stesso e a quelli dei 2 elementi adiacenti. La stessa scelta non
può essere operata per un elemento di bordo, il quale non ha dal lato esterno
del bordo un elemento adiacente: gli verrebbe a mancare quindi un
parametro di controllo. Su un elemento di bordo, invece, si sostituisce il
punto di controllo mancante con l’estremo del dominio globale connesso all’elemento
stesso, cioè il punto sul bordo lungo la congiungente il punto di
controllo mancante e il punto di controllo associato all’elemento. I punti di
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