tesi_AntonioLorenzoM.. - LabMec

La geometria e le dimensioni della piastra sono definite rispetto a un
sistema cartesiano (O : x, y, z)), la cui origine è in un vertice della piastra e gli
assi sono paralleli agli spigoli. Le componenti di spostamento corrispondenti
a un generico punto sono descritte nel vettore:
u(x, y, x, t) = { u(x, y, z, t) v(x, y, z, t) w(x, y, z, t) } T
Secondo la teoria tridimensionale, le equazioni del moto, senza considerare
le forze di massa, sono, (vedi Gentilini and Viola (2002)):
dove
G∇ 2 u + (λ + G)∇divu = ρ ∂2 u
∂t 2
λ = 2Gν
, G =
(1 − 2ν)
E
2(1 + ν) ,
(6.1)
E è il modulo di Young, ν è il coefficiente di Poisson e ρ è la densità di
massa. Per una piastra soggetta a vibrazioni libere, le sue componenti di
spostamento periodiche possono essere espresse in termini delle funzioni di
ampiezza di spostamento come segue:
u(x, y, z, t) = U(x, y, z)e iωt , (6.2)
v(x, y, z, t) = V (x, y, z)e iωt , (6.3)
w(x, y, z, t) = W (x, y, z)e iωt , (6.4)
where ω indica la frequenza naturale della piastra. Le funzioni di ampiezza
di spostamento sono riunite nel seguente vettore:
U(x, y, z) = [ U(x, y, z) V (x, y, z) W (x, y, z) ] T
e la (6.1) può essere scritta come:
∇ 2 U + 1
1 − 2ν ∇divU + ρω2U G
= 0 (6.5)
Le condizioni al contorno per una piastra semplicemente appoggiata possono
essere espresse come:
σx = 0, v = 0, w = 0 per x = 0, a, (6.6)
σy = 0, u = 0, w = 0 per y = 0, b. (6.7)
Per semplicità e convenienza nella formulazione matematica, viene introdotto
il seguente sistema di ccordinate adimensionalizzato :
X = x y z
, Y = , Z =
a b h .
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