tesi_AntonioLorenzoM.. - LabMec

il quale attinge il suo minimo in corrispondenza della soluzione del problema.
Nel funzionale (2.13), u è il campo degli spostamenti definito sul dominio Ω,
t il vettore dei carichi di superficie agenti sulla porzione di contorno ∂Ωt,
Cijhk il tensore elastico definito nella (2.7).
La riformulazione al discreto del funzionale energia potenziale sulla base
dell’interpolazione del campo degli spostamenti, consente la definizione della
matrice di rigidezza e del vettore dei carichi per l’intera struttura. Quindi, la
condizione di stazionarietà associata fornisce il sistema algebrico risolvente.
La procedura viene effettuata assemblando i contributi provenienti da ciascun
elemento della discretizzazione. A tal fine conviene ridefinire le quantità coinvolte
sulla base di una notazione vettoriale più adatta alla formulazione del
problema algebrico da implementare nel codice di calcolo.
Per caratterizzare lo stato di tensione in un punto si introduce il vettore
σ T = {σxx σyy σzz τxy τxz τyz} (2.14)
dove σxx, σyy, σzz sono le componenti di tensione normali e τxy, τxz, τyz sono
le componenti di tensione tangenziali.
Il vettore degli spostamenti che misura i cambiamenti nella posizione di
un punto all’interno di un corpo soggetto a carichi esterni, può essere scritto
in funzione delle sue componenti cartesiane come
u = u(x, y, z) î + v(x, y, z)ˆ j + w(x, y, z) ˆ k (2.15)
Lo stato di deformazione in un punto è anch’esso caratterizzato da sei
componenti indipendenti mediante il vettore
ε T = {εxx εyy εzz γxy γxz γyz} (2.16)
dove εxx, εyy, εzz sono le componenti di deformazione normali e γxy, γxz, γyz
sono le componenti di deformazione tangenziali.
Sulla base delle quantità sopra introdotte, la relazione di compatibilità è formulabile
come:
ε = Du (2.17)
dove D è l’operatore differenziale lineare:
⎡
⎢
D = ⎢
⎣
∂ 0 0
∂x
∂ 0 0 ∂y
0 0 ∂
∂z
∂ ∂ 0
∂y ∂x
∂ ∂ 0 ∂z ∂x
∂ ∂ 0 ∂z ∂y
15
⎤
⎥
⎦