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Capitolo 3
Interpolazione spline
La necessità di buone tecniche per l’approssimazione di funzioni si presenta
in molti contesti: data fitting, soluzioni appprossimate di equazioni differenziali
e integrali tramite metodi variazionali, formule di integrazione e
differenziazione numerica, tecniche numeriche per la risoluzione di equazioni
differenziali non lineari del primo ordine [5]. Se si considera, ad esempio,
una equazione differenziale ordinaria nell’incognita f(x) soggetta a determinate
condizioni al bordo, è ben noto che in alcuni casi la soluzione esatta di
tale problema non può essere calcolata. Si procede perciò alla ricerca di una
buona approssimazione φ(x) della soluzione esatta f(x). Per fare ciò si dovrà
stabilire, data la funzione f(x), quali funzioni φ(x) forniscono una buona approssimazione
di f(x), che cosa si intende per buona approssimazione e come
determinare una buona approssimazione φ(x) di f(x).
3.1 Approssimazione di funzioni
Approssimare una data funzione, p. es. reale di una variabile reale, mediante
particolari combinazioni di funzioni appartenenti a date classi, è uno dei
problemi centrali dell’analisi numerica. Le classi funzionali di più frequente
impiego sono: polinomi, funzioni di Fourier (sennx, cosnx, n = 0, 1, ...). La
funzione approssimante, che viene sostituita a quella di partenza, deve essere
tale da soddisfare certi requisiti di aderenza a quest’ultima ed essere
valutabile in maniera sufficientemente facile, con i mezzi di calcolo disponibili.
Una delle tecniche di approssimazione più vecchie (risale almeno al XVIII
sec. con Eulero e Lagrange e al 1822 con Fourier), è quella di approssimare
una data funzione f(x) con la somma finita:
φ(x) = c1Φ1(x) + c2Φ2(x) + ... + cnΦn(x) (3.1)
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